ΑΣΚΗΣΗ

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
Matteo
Δημοσιεύσεις: 18
Εγγραφή: Κυρ Οκτ 16, 2016 7:56 pm

ΑΣΚΗΣΗ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από Matteo » Πέμ Απρ 20, 2017 5:16 pm

Δίνεται η εξής συναρτησιακή σχέση με f παραγωγίσιμη στο \mathbb{R}: f'(x)=2xf(x)+2x^2-1 και με f(0)=1. Μπορεί να βρεθεί ο τύπος της;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Λάμπρος Μπαλός
Δημοσιεύσεις: 835
Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: ΑΣΚΗΣΗ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από Λάμπρος Μπαλός » Πέμ Απρ 20, 2017 5:47 pm

Matteo έγραψε:Δίνεται η εξής συναρτησιακή σχέση με f παραγωγίσιμη στο \mathbb{R}: f'(x)=2xf(x)+2x^2-1 και με f(0)=1. Μπορεί να βρεθεί ο τύπος της;


Γράφεται διαφορετικά..
(f(x)+x)'-2x(f(x)+x)=0


Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com
Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9130
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: ΑΣΚΗΣΗ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από Mihalis_Lambrou » Πέμ Απρ 20, 2017 5:48 pm

Matteo έγραψε:Δίνεται η εξής συναρτησιακή σχέση με f παραγωγίσιμη στο \mathbb{R}: f'(x)=2xf(x)+2x^2-1 και με f(0)=1. Μπορεί να βρεθεί ο τύπος της;


Υπόδειξη: Πολλαπλασίασε επί e^{-x^2} και φέρτο στην μορφή (e^{-x^2}f(x))'=.... Τελική απάντηση


Άβαταρ μέλους
Matteo
Δημοσιεύσεις: 18
Εγγραφή: Κυρ Οκτ 16, 2016 7:56 pm

Re: ΑΣΚΗΣΗ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από Matteo » Πέμ Απρ 20, 2017 6:13 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Matteo έγραψε:Δίνεται η εξής συναρτησιακή σχέση με f παραγωγίσιμη στο \mathbb{R}: f'(x)=2xf(x)+2x^2-1 και με f(0)=1. Μπορεί να βρεθεί ο τύπος της;


Υπόδειξη: Πολλαπλασίασε επί e^{-x^2} και φέρτο στην μορφή (e^{-x^2}f(x))'=.... Τελική απάντηση


Μα εάν f(x)=-x πως είναι δυνατόν f(0)=1 ;
Έχω την εντύπωση πως είναι f(x)=\mathrm{e}^{x^2}-x


Άβαταρ μέλους
Λάμπρος Μπαλός
Δημοσιεύσεις: 835
Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: ΑΣΚΗΣΗ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από Λάμπρος Μπαλός » Πέμ Απρ 20, 2017 6:41 pm

Matteo έγραψε:Έχω την εντύπωση πως είναι f(x)=\mathrm{e}^{x^2}-x


Πώς είναι δυνατόν να διακρίνεις τέτοια λύση χωρίς να έχεις λύσει την εξίσωση; Ας είναι.
Βάδισε πάνω στην παραπάνω υπόδειξη που έδωσα και με το σκεπτικό του Μιχάλη Λάμπρου (πολλαπλασιάζοντας δηλαδή με το e^{-x^{2}}) θα φτάσεις στη λύση που είναι πράγματι αυτή που είπες και είναι δεκτή αφού επαληθεύει τις υποθέσεις.


Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com
Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9130
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: ΑΣΚΗΣΗ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από Mihalis_Lambrou » Πέμ Απρ 20, 2017 8:02 pm

Matteo έγραψε:
Mihalis_Lambrou έγραψε:Υπόδειξη: Πολλαπλασίασε επί e^{-x^2} και φέρτο στην μορφή (e^{-x^2}f(x))'=.... Τελική απάντηση


Μα εάν f(x)=-x πως είναι δυνατόν f(0)=1 ;
Έχω την εντύπωση πως είναι f(x)=\mathrm{e}^{x^2}-x


Έκανα λάθος στις πράξεις για τον υπολογισμό της σταθεράς. Κατά τα άλλα η μέθοδος είναι σωστή.

Ακριβέστερα θα βρεις (e^{-x^2}f(x))'=e^{-x^2} (2x^2-1)

Με ολοκλήρωση κατά παράγοντες είναι e^{-x^2}f(x)=-xe^{-x^2}+c και άρα f(x)=-x+ce^{x^2} . Από την αρχική συνθήκη θα βγει c=1 (και όχι c=0 που εσφαλμένα έγραψα στο προηγούμενο ποστ). Αυτό ήταν όλο!


Άβαταρ μέλους
Matteo
Δημοσιεύσεις: 18
Εγγραφή: Κυρ Οκτ 16, 2016 7:56 pm

Re: ΑΣΚΗΣΗ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #7 από Matteo » Παρ Απρ 21, 2017 11:52 am

Μα την έλυσα για αυτό και το είπα... Δεν το είπα τυχαία. Σας ευχαριστώ πολύ.



Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης