Ακρότατο στα άκρα

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #1

Καλημέρα

Μια και η βασική προετοιμασία των μαθητών της Γ! Λυκείου σχεδόν έχει τελειώσει ας δούμε μια χαρακτηριστική και διδακτική άσκηση που τα ερωτήματα της (ιδιαίτερο το δεύτερο) είναι πολύ δύσκολα και για τους πολύ καλούς μαθητές μας.

Έστω η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [α,β] και με τιμές στο R.
α. Να αποδείξετε ότι
- αν η συνάρτηση f παρουσιάζει ελάχιστο στο $\displaystyle{{x_0} = \alpha }$ , τότε ισχύει: $\displaystyle{f'(\alpha ) \geqslant 0}$ ,
ενώ
- αν παρουσιάζει ελάχιστο στο $\displaystyle{{x_0} = \beta }$ , τότε ισχύει: $\displaystyle{f'(\beta ) \leqslant 0}$ .

β. Αν ισχύει $\displaystyle{f'(\alpha ) < 0 < f'(\beta )}$ να δείξετε ότι υπάρχει $\displaystyle{\xi \in \left( {\alpha ,\beta } \right)}$ ώστε να ισχύει $\displaystyle{f'(\xi ) = 0}$

Σχόλια:
- Αντίστοιχα συμπεράσματα μπορούμε να έχουμε αν η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο είτε στο α είτε στο β.
- Η συνάρτηση της παραγώγου δεν δίνεται ότι είναι συνεχής

να είστε όλοι καλά,
Θωμάς

coheNakatos · #2

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς έγραψε:Καλημέρα

Μια και η βασική προετοιμασία των μαθητών της Γ! Λυκείου σχεδόν έχει τελειώσει ας δούμε μια χαρακτηριστική και διδακτική άσκηση που τα ερωτήματα της (ιδιαίτερο το δεύτερο) είναι πολύ δύσκολα και για τους πολύ καλούς μαθητές μας.

Έστω η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [α,β] και με τιμές στο R.
α. Να αποδείξετε ότι
- αν η συνάρτηση f παρουσιάζει ελάχιστο στο $\displaystyle{{x_0} = \alpha }$ , τότε ισχύει: $\displaystyle{f'(\alpha ) \geqslant 0}$ ,
ενώ
- αν παρουσιάζει ελάχιστο στο $\displaystyle{{x_0} = \beta }$ , τότε ισχύει: $\displaystyle{f'(\beta ) \leqslant 0}$ .

β. Αν ισχύει $\displaystyle{f'(\alpha ) < 0 < f'(\beta )}$ να δείξετε ότι υπάρχει $\displaystyle{\xi \in \left( {\alpha ,\beta } \right)}$ ώστε να ισχύει $\displaystyle{f'(\xi ) = 0}$

Σχόλια:
- Αντίστοιχα συμπεράσματα μπορούμε να έχουμε αν η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο είτε στο α είτε στο β.
- Η συνάρτηση της παραγώγου δεν δίνεται ότι είναι συνεχής

να είστε όλοι καλά,
Θωμάς

(Δεν εχω πολυ χρονο αρα για αν κανω καποιο λαθος συγχωρεστε με

)

α) Με ΘΜΤ και χρηση της ανισοτητας περι ελαχιστου
β) Αφου ισχυει η πρωτη ανισοτητα που δινεται τοτε εξασφαλιζεται οτι δεν παρουσιαζεται ακροτατο στα α,β .Απο θεωρημα μεγιστης ελαχιστης τιμης υπαρχουν m,M (μεγιστο και ελαχιστο) και εφοσον εχουμε δειξει οτι δεν ειναι τα α,β ,υπαρχει ξ στο (α,β) : f'(ξ)=0

Ακρότατο στα άκρα

Ακρότατο στα άκρα

Re: Ακρότατο στα άκρα

Μέλη σε σύνδεση