Ύπαρξη σημείων...

M.S.Vovos · #1

Έστω η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , για την οποία ισχύει:
$\displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} x^{2}+x+1, &x<0 \\ x^{3}+x+1, &x\geq 0 \end{matrix}\right.}$ Να εξετάσετε αν υπάρχουν σημεία της

, στα οποία οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της να είναι μεταξύ τους παράλληλες.

Φιλικά,
Μάριος

#2

M.S.Vovos έγραψε:Έστω η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , για την οποία ισχύει:
$\displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} x^{2}+x+1, &x<0 \\ x^{3}+x+1, &x\geq 0 \end{matrix}\right.}$ Να εξετάσετε αν υπάρχουν σημεία της , στα οποία οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της να είναι μεταξύ τους παράλληλες.

Φιλικά,
Μάριος

Λυση

Είναι η $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγίσιμη λόγω της μορφής της για $x\ne 0$ με ${f}'(x)=\left\{ \begin{matrix} 2x+1, & x<0 \\ 3{{x}^{2}}+1, & x>0 \\ \end{matrix} \right.$

και εξετάζοντας στο x=0

έχουμε ότι

$\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+x}{x}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,(x+1)=1$ και

$\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}+x}{x}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,({{x}^{2}}+1)=1$

άρα είναι παραγωγίσιμη και στο x=0

με

Τώρα είναι δύο φορές παραγωγίσιμη λόγω της μορφής της για $x\ne 0$ με

${f}''(x)=\left\{ \begin{matrix} 2, & x<0 \\ 6x, & x>0 \\ \end{matrix} \right.$ και προφανώς ισχύει για $x\ne 0$ ότι {f}''(x)>0

επομένως η {f}'

είναι γνήσια αύξουσα στο

άρα και

επομένως δεν υπάρχουν

${{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}$ ώστε ${f}'({{x}_{1}})={f}'({{x}_{2}})$ επομένως δεν υπάρχουν

εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της που να είναι μεταξύ τους παράλληλες.

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Ύπαρξη σημείων...

Ύπαρξη σημείων...

Re: Ύπαρξη σημείων...

Μέλη σε σύνδεση