Ελάχιστη τιμή φυσικού...

M.S.Vovos · #1

Έστω ο αριθμός $m\in \mathbb{N}$ και η πολυωνυμική συνάρτηση $\displaystyle{Q(x)=1+x+x^{2}+\cdots +x^{m}}$ , $x\in \mathbb{R}$ . Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του αριθμού

, ώστε η εξίσωση $\displaystyle{Q(x)=e^{x}}$ , $x\in \mathbb{R}$ να έχει ακριβώς τρεις πραγματικές ρίζες.

Φιλικά,
Μάριος

Σταμ. Γλάρος · #2

M.S.Vovos έγραψε:Έστω ο αριθμός $m\in \mathbb{N}$ και η πολυωνυμική συνάρτηση $\displaystyle{Q(x)=1+x+x^{2}+\cdots +x^{m}}$ , $x\in \mathbb{R}$ . Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του αριθμού , ώστε η εξίσωση $\displaystyle{Q(x)=e^{x}}$ , $x\in \mathbb{R}$ να έχει ακριβώς τρεις πραγματικές ρίζες.

Φιλικά,
Μάριος

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια...
Θεωρώ την συνάρτηση f(x)=Q(x)-e^x

, παραγωγίσιμη ... όσες φορές θέλουμε!
Αν έχει ακριβώς τρεις πραγματικές ρίζες θα ισχύουν τα εξής:
Εφαρμόζοντας 2 φορές το Θ. Rolle στην

, στα διαστήματα που ορίζουν οι τρεις ρίζες, θα βρούμε τουλάχιστον δύο ρίζες της

.
Συνεχίζοντας με Θ. Rolle στην

, στο διάστημα που ορίζουν οι δυο ρίζες, θα βρούμε τουλάχιστον μία ρίζα της f''

.
Ξεκινάμε, λοιπόν, θεωρώντας m=2

. Σε αυτήν την περίπτωση έχουμε : f(x)= 1+x+x^2 -e^x

,

και

.
Έτσι προκύπτει το παρακάτω πινακάκι.

: ΠΙΝΑΚΑΣ 1.png (36.97 KiB) Προβλήθηκε 747 φορές

Παρατηρούμε ότι εδώ μία ρίζα της

είναι το

η οποία είναι τοπικό ελάχιστο.
Η άλλη ρίζα που προκύπτει είναι η

, διότι η

στο

, παρουσιάζει τοπικό μέγιστο και μάλιστα επειδή f(1)= 3-e>0

είναι

και φυσικά f(x_1) >0

.
Επίσης για να τεκμηριώσουμε σύνολα τιμών στον παραπάνω πίνακα εύκολα υπολογίζουμε τα όρια : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty } f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty }\left ( 1+x+x^2 -e^x \right ) =+\infty$ ,
αφού $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty }\left ( 1+x+x^2 \right ) =+\infty$ και $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty } e^x = 0$ .
Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζουμε και το $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty } f'(x)= -\infty$ .
Τώρα έχουμε για το $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty } f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty }\left ( 1+x+x^2 -e^x \right ) =\lim_{x\rightarrow +\infty } \left [ e^x\left ( \dfrac{1}{e^x} +\frac{x}{e^x} +\frac{x^2}{e^x}-1\right ) \right ] =-\infty$ ,
διότι $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty } \dfrac{1}{e^x}= \lim_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{x}{e^x} = \lim_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{x^2}{e^x} =0$ . (Τα δύο τελευταία όρια προκύπτουν με κανόνα de L' Hospital) .
Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η

έχει ακριβώς δύο πραγματικές ρίζες .
Συνεπώς η περίπτωση αυτή απορρίπτεται.

Για m=3

, έχουμε : f(x)= 1+x+x^2 +x^3-e^x

,

και

.
Εχουμε τώρα τον εξής πίνακα:

: ΠΙΝΑΚΑΣ 2.png (22.4 KiB) Προβλήθηκε 747 φορές

Τώρα παρατηρούμε ότι $f\left (-\frac{1}{2} \right )=\dfrac{5}{8}-\dfrac{1}{\sqrt{e}}>0$ , διότι
$\dfrac{5}{8}>\sqrt{\dfrac{1}{e}}\Leftrightarrow \dfrac{25}{64}>\dfrac{1}{e}\Leftrightarrow e>\dfrac{64}{25}\approx2,56$ , το οποίο ισχύει.
Από το παραπάνω πινακάκι παρατηρούμε ότι στο διάστημα $(-\infty ,r_{1})$ η

παρουσιάζει στην θέση r_1

,
ολικό μέγιστο το f(r_1)>0

, αφού $f\left (-\frac{1}{2} \right )>0$ .

Επίσης η

είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο $(-\infty ,r_{1}]$ .
Άρα $f((-\infty ,r_{1}]) = (-\infty ,f(r_{1})]$ και επειδή το

ανήκει στο σύνολο τιμών
συμπεραίνουμε (λόγω μονοτονίας) ότι η

έχει μοναδική ρίζα στο $(-\infty ,r_{1}]$ .

Επιπλέον στο $[r_{1}, r_2]$ , η

παρουσιάζει ολικό ελάχιστο, το f(0)=0

.
Συνεπώς το

είναι μοναδική ρίζα στο διάστημα αυτό.

Εύκολα όπως προηγουμένως $f([r_{2} ,+\infty]) = (-\infty ,f(r_{2})]$ και επειδή το

ανήκει στο σύνολο τιμών
συμπεραίνουμε (λόγω μονοτονίας) ότι η

έχει μοναδική ρίζα στο $[r_{2} , +\infty )$ .

Επομένως αποδείξαμε ότι η m=3

είναι η ελάχιστη τιμή ώστε η εξίσωση να έχει ακριβώς τρεις πραγματικές ρίζες.

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

M.S.Vovos · #3

Σταμ. Γλάρος έγραψε:
M.S.Vovos έγραψε:Έστω ο αριθμός $m\in \mathbb{N}$ και η πολυωνυμική συνάρτηση $\displaystyle{Q(x)=1+x+x^{2}+\cdots +x^{m}}$ , $x\in \mathbb{R}$ . Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του αριθμού , ώστε η εξίσωση $\displaystyle{Q(x)=e^{x}}$ , $x\in \mathbb{R}$ να έχει ακριβώς τρεις πραγματικές ρίζες.

Φιλικά,
Μάριος
Καλησπέρα. Μια προσπάθεια...

Σωστά

. Ωραίος πίνακας μεταβολών.

Ελάχιστη τιμή φυσικού...

Ελάχιστη τιμή φυσικού...

Re: Ελάχιστη τιμή φυσικού...

Re: Ελάχιστη τιμή φυσικού...

Μέλη σε σύνδεση