...Ακριβώς μία ρίζα

#1

Να δείξετε ότι η εξίσωση $\displaystyle x\ln x + {e^x} = 1$ έχει ακριβώς μία ρίζα στο $\displaystyle (0, + \infty )$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 10, 2017 10:53 am
Να δείξετε ότι η εξίσωση $\displaystyle x\ln x + {e^x} = 1$ έχει ακριβώς μία ρίζα στο $\displaystyle (0, + \infty )$

Εστω $f(x)=xlnx+e^{x}-1$

Αν θέσουμε f(0)=0

τότε η $f:[0,\infty )\rightarrow \mathbb{R}$

είναι συνεχής και παραγωγίσημη στο $(0,\infty )$

Αλλά $f''(x)=\frac{1}{x}+e^{x}> 0,x\in (0,\infty )$

Ετσι η

είναι κυρτή οπότε έχει το πολύ δύο ρίζες στο $[0,\infty )$

Η μία είναι στο

.

Επειδή f(1)>0

και $f(\frac{1}{100})< 0$

από Bolzano εχει ρίζα στο $(\frac{1}{100},1)$ που είναι και η μοναδική στο $(0,\infty)$

Γιατί

είναι $f(\frac{1}{100})=-\frac{ln100}{100}+e^{\frac{1}{100}}-1<-\frac{4}{100}+e^{\frac{1}{100}}-1=e^{\frac{1}{100}}-1,04$

Αλλά $e^{\frac{1}{100}}< 1,04\Leftrightarrow \frac{1}{100}< ln 1,04$

Από την $lnx\geq 1-\frac{1}{x}$

παίρνουμε ότι $ln 1,04\geq 1-\frac{1}{1,04}=\frac{0,04}{1,04}>0,03> \frac{1}{100}$

που ολοκληρώνει την απόδειξη.

Προφανώς αυτή δεν είναι μια λύση που περιμένει κάποιος από ένα μαθητή .Καλό όμως θα ήταν να περιμέναμε μια τέτοια λύση.

...Ακριβώς μία ρίζα

...Ακριβώς μία ρίζα

Re: ...Ακριβώς μία ρίζα

Μέλη σε σύνδεση