ΚΥΡΤΗ ΚΟΙΝΟ ΣΗΜΕΙΟ

#1

...Καλημέρα

ένα ενδιαφέρον θέμα που προέκυψε από ζητούμενο σε θέμα συναδέλφου στο διαδίκτυο...

Έστω συνάρτηση $f:[0,\,+\infty )\to R$ που είναι κυρτή και γνήσια αύξουσα στο διάστημα $[0,\,+\infty )$ .

Αν ισχύει ότι $f(0)=0,\,\,{f}'(0)<1$ να δειχτεί ότι η γραφική παράσταση της

και η ευθεία y=x

έχουν ακριβώς δύο κοινά σημεία.

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Λάμπρος Κατσάπας · #2

KAKABASBASILEIOS έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 14, 2018 12:35 pm
...Καλημέρα

ένα ενδιαφέρον θέμα που προέκυψε από ζητούμενο σε θέμα συναδέλφου στο διαδίκτυο...

Έστω συνάρτηση $f:[0,\,+\infty )\to R$ που είναι κυρτή και γνήσια αύξουσα στο διάστημα $[0,\,+\infty )$ .

Αν ισχύει ότι $f(0)=0,\,\,{f}'(0)<1$ να δειχτεί ότι η γραφική παράσταση της και η ευθεία έχουν ακριβώς δύο κοινά σημεία.

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Δεν είναι σωστό. Θα πρέπει επιπλέον η παράγωγος να πιάνει την τιμή 1 για να συμβεί αυτό. Αντιπαράδειγμα η $\sqrt{x^2+1}-1$ . Η άσκηση είναι του συνάδελφου Ηλία Αγγελάκου.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

$f(x)=e^{-x}+x-1$

συμπλήρωμα.

Αντιπαράδειγμα είναι ότι δεν ισχύει.

Γενικότερα μπορούμε να πάρουμε την

$f(x)=e^{-ax}+x-1,a> 0$

που f'(0)=1-a

όσο κοντά στο

θέλουμε.

Σταμ. Γλάρος · #4

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 14, 2018 2:52 pm

KAKABASBASILEIOS έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 14, 2018 12:35 pm
...Καλημέρα

ένα ενδιαφέρον θέμα που προέκυψε από ζητούμενο σε θέμα συναδέλφου στο διαδίκτυο...

Έστω συνάρτηση $f:[0,\,+\infty )\to R$ που είναι κυρτή και γνήσια αύξουσα στο διάστημα $[0,\,+\infty )$ .

Αν ισχύει ότι $f(0)=0,\,\,{f}'(0)<1$ να δειχτεί ότι η γραφική παράσταση της και η ευθεία έχουν ακριβώς δύο κοινά σημεία.

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης
Δεν είναι σωστό. Θα πρέπει επιπλέον η παράγωγος να πιάνει την τιμή 1 για να συμβεί αυτό. Αντιπαράδειγμα η $\sqrt{x^2+1}-1$ . Η άσκηση είναι του συνάδελφου Ηλία Αγγελάκου.

Καλησπέρα στην εκλεκτή παρέα.

Αν αντί για την υπόθεση f'(0)<1

θεωρήσουμε το εξής :
υπάρχει $\xi \in (0,+\infty )$ ώστε $f'( \xi )=1$ ,
τότε, νομίζω, δεν έχουμε πρόβλημα...
Αυτό έχω την αίσθηση ότι εννοεί ο Ηλίας γράφοντας:
"Θα πρέπει επιπλέον η παράγωγος να πιάνει την τιμή 1 για να συμβεί αυτό."

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Λάμπρος Κατσάπας · #5

Σταμ. Γλάρος έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 15, 2018 8:06 pm
Καλησπέρα στην εκλεκτή παρέα.

Αν αντί για την υπόθεση θεωρήσουμε το εξής :
υπάρχει $\xi \in (0,+\infty )$ ώστε $f'( \xi )=1$ ,
τότε, νομίζω, δεν έχουμε πρόβλημα...
Αυτό έχω την αίσθηση ότι εννοεί ο Ηλίας γράφοντας:
"Θα πρέπει επιπλέον η παράγωγος να πιάνει την τιμή 1 για να συμβεί αυτό."

Ναι, αν πιάσει την τιμή 1 τότε είναι εντάξει. Μια απόδειξη έχω κάνει εδώ:

https://www.facebook.com/groups/1190609 ... 579742288/

Αν υπάρξει πιο σύντομη λύση θα χαρώ να την δω. Καλό βράδυ.

Σταμ. Γλάρος · #6

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 15, 2018 9:44 pm

Σταμ. Γλάρος έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 15, 2018 8:06 pm
Καλησπέρα στην εκλεκτή παρέα.

Αν αντί για την υπόθεση θεωρήσουμε το εξής :
υπάρχει $\xi \in (0,+\infty )$ ώστε $f'( \xi )=1$ ,
τότε, νομίζω, δεν έχουμε πρόβλημα...
Αυτό έχω την αίσθηση ότι εννοεί ο Ηλίας γράφοντας:
"Θα πρέπει επιπλέον η παράγωγος να πιάνει την τιμή 1 για να συμβεί αυτό."
Ναι, αν πιάσει την τιμή 1 τότε είναι εντάξει. Μια απόδειξη έχω κάνει εδώ:

https://www.facebook.com/groups/1190609 ... 579742288/

Αν υπάρξει πιο σύντομη λύση θα χαρώ να την δω. Καλό βράδυ.

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια. Δεν ξέρω αν είναι πιο σύντομη ...
Θεωρώ την συνάρτηση g(x)=f(x)-x

στο $[0,+\infty)$ . Είναι g'(x)=f'(x)-1

και $g'(\xi)=0$ .
Αφού η C_f

είναι κυρτή συμπεραίνουμε ότι η

είναι γνησίως αύξουσα στο $[0,+\infty)$ .
Εύκολα από τον ορισμό προκύπτει ότι και η

είναι γνησίως αύξουσα στο $[0,+\infty)$ .
Άρα και η C_g

είναι κυρτή.
Τώρα επειδή $g'(\xi)=0$ και

είναι γνησίως αύξουσα στο $[0,+\infty)$ έχουμε :
α) Για $x<\xi$ $\Rightarrow$ $g'(x)<g'(\xi)=0$ . Συνεπώς η

είναι γνησίως φθίνουσα στο $[0,\xi]$ .
Άρα για $x_{1}\in (0,\xi ) \Rightarrow g(x_{1})<g(0)=0$ (1)
β) Για $x>\xi$ $\Rightarrow$ $g'(x)>g'(\xi)=0$ . Συνεπώς η

είναι γνησίως αύξουσα στο $[\xi , +\infty)$ .

Έστω $x_o > \xi$ . Η εξίσωση της εφαπτομένης της C_g

στο σημείο ( x_o , g(x_o) )

είναι:

και αφού η C_g

είναι κυρτή είναι $g(x) \geq g'(x_o) (x-x_o) +g(x_o)$ .
Στη συνέχεια έχουμε επειδή η

είναι γνησίως αύξουσα ότι $g'(x_o) > g'(\xi)=0$ .
Άρα και $\lim_{x\rightarrow +\infty }\left [ g'(x_o)(x-x_o)+g(x_o) \right ]=+\infty$ .
Επομένως υπάρχει $x_2 \in (\xi , +\infty )$ ώστε g'(x_o) (x_2-x_o) +g(x_o) >0

,
οπότε και $g(x_2) \geq g'(x_o) (x_2-x_o) +g(x_o)>0$ (2) .

Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ. Bolzano
για την

στο

. Συνεπώς υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα της

στο

.

Έστω τώρα ότι η

έχει τρεις ρίζες a, b, c

στο $[0,+\infty)$ .
Εφαρμόζοντας δύο φορές το Θ. Rolle στην

στα

και

συπμεραίνουμε ότι υπάρχουν
$\xi_1 \in (a,b)$ και $\xi_2 \in (b,c)$ ώστε $g'(\xi_1)=g'(\xi_2) = 0$ .
Άτοπο διότι η

είναι γνησίως αύξουσα.
Άρα η

έχει ακριβώς δύο ρίζες στο $[0,+\infty)$ .

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Andreas A. · #7

Μιά γενίκευση της παραπάνω άσκησης:

$f:[a,+\infty ) \rightarrow \mathbb{R}, \ f(a)=ca, \ \exists k\in(a,+\infty): f'(k)=c$

& f κυρτή και αύξουσα τότε η f τέμνει την cx σε ακριβώς 2 σημεία στο $[a,+\infty)$

Ορίζουμε: $g(x)=f(x)-cx, \ \ x\in[a,+\infty) \\$

g(x)=f'(x)-c

η οποία είναι αύξουσα εφόσον f' αύξουσα (f κυρτή). Άρα g κυρτή.

$x<k\Rightarrow g'(x)<g'(k)=0 \ \$ Άρα g φθίνουσα στο $\left [ a,k \right ]$

$x>k\Rightarrow g'(x)>g'(k)=0 \ \$ Άρα g αύξουσα στο $[k,+\infty)$

$k>a\Rightarrow g(k)<g(a)=0$

Άρα από τα γνωστά για το σύνολο τιμών: $g([a,k))=(g(k),g(a)]\Rightarrow \boxed{g([a,k))=(g(k),0]}$

Στο $[k,+\infty)$ g αύξουσα και κυρτή και αποδεικνύεται ότι $\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=+\infty$

και άρα: $\boxed{g([k,+\infty))=[g(k),+\infty)}$

Εφόσον g(k)<0, από τα σύνολα τιμών συμπεραίνουμε ότι g έχει ακριβώς 1 ρίζα σε κάθε διάστημα ->Ακριβώς 2 ρίζες

ΚΥΡΤΗ ΚΟΙΝΟ ΣΗΜΕΙΟ

ΚΥΡΤΗ ΚΟΙΝΟ ΣΗΜΕΙΟ

Re: ΚΥΡΤΗ ΚΟΙΝΟ ΣΗΜΕΙΟ

Re: ΚΥΡΤΗ ΚΟΙΝΟ ΣΗΜΕΙΟ

Re: ΚΥΡΤΗ ΚΟΙΝΟ ΣΗΜΕΙΟ

Re: ΚΥΡΤΗ ΚΟΙΝΟ ΣΗΜΕΙΟ

Re: ΚΥΡΤΗ ΚΟΙΝΟ ΣΗΜΕΙΟ

Re: ΚΥΡΤΗ ΚΟΙΝΟ ΣΗΜΕΙΟ

Μέλη σε σύνδεση