ΔΙΑΦ> ΛΟΓΙΣΜΟΣ

G.Tsikaloudakis · #1

Έστω συνάρτηση $\displaystyle{f }$
συνεχής τέτοια ώστε για κάθε $\displaystyle{x \in R}$ να ισχύει:
$\displaystyle{ f(x) + e^{f(x)} = x + xe^x }$
Να αποδείξετε όι:
α. Αν , $\displaystyle{\alpha \ne \beta }$
τότε $\displaystyle{f(\alpha ) \ne f(\beta )}$
β. Αν $\displaystyle{\alpha + f(\alpha ) = \beta + f(\beta )}$
τότε α=β
γ. υπάρχει $\displaystyle{x_o \in R}$ τέτοιο ώστε
$\displaystyle{ f(x_o ) = 0}$
δ. υπάρχει $\displaystyle{\xi \in R}$ τέτοιο ώστε: $\displaystyle{ f(\xi ) = \xi }$
ε. f(R)=R

mathxl · #2

Μία λύση
Έστω η $\displaystyle{g\left( x \right) = x + x{e^x},x \in R}$
Είναι $\displaystyle{g'\left( x \right) = 1 + {e^x} + x{e^x},x \in R}$
και $\displaystyle{g''\left( x \right) = \left( {2 + x} \right){e^x},x \in R}$
Η πρώτη παράγωγος έχει ελάχιστο στο -2 το $\displaystyle{g'\left( { - 2} \right) = 1 - {e^{ - 2}} > 0}$
οπότε από ορισμό ελαχίστου έχουμε $\displaystyle{g'\left( x \right) \ge g'\left( { - 2} \right) > 0}$
που σημαίνει ότι η g είναι γνησίως αύξουσα ως συνεχής στο R άρα και 1-1
α) Έστω $\displaystyle{f\left( \alpha \right) = f\left( \beta \right) \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}} {f\left( \alpha \right) = f\left( \beta \right)} \\ {{e^{f\left( \alpha \right)}} = {e^{f\left( \beta \right)}}} \\ \end{array}\mathop \Rightarrow \limits^ + f\left( \alpha \right) + {e^{f\left( \alpha \right)}} = f\left( \beta \right) + {e^{f\left( \beta \right)}} \Rightarrow g\left( \alpha \right) = g\left( \beta \right) \Rightarrow \alpha = \beta }$
που σημαίνει ότι η συνάρτηση f είναι 1-1
β) Έστω ότι υπάρχουν
$\displaystyle{\ {x_1},{x_2} \in R}$ με $\displaystyle{{x_1} < {x_2}}$ τέτοια ώστε $\displaystyle{f\left( {{x_1}} \right) \ge f\left( {{x_2}} \right) \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}} {f\left( {{x_1}} \right) \ge f\left( {{x_2}} \right)} \\ {{e^{f\left( {{x_1}} \right)}} \ge {e^{f\left( {{x_2}} \right)}}} \\ \end{array}\mathop \Rightarrow \limits^ + g\left( {{x_1}} \right) \ge g\left( {{x_2}} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{g \uparrow } {x_1} \ge {x_2}}$ , άτοπο
Άρα για κάθε χ1,χ2 με χ1 <χ2 είναι $\displaystyle{f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)}$
δηλαδή η f είναι γνησίως αύξουσα

Έστω ότι α διαφορετικό του β
- Αν α < β τότε f(α) < f(β) και με πρόσθεση κατα μέλη καταλήγουμε σε άτοπο
- Αν α > β τότε f(α) > f(β) και με πρόσθεση κατα μέλη καταλήγουμε σε άτοπο
Συνεπώς α = β
γ)Για χ = 0 : $\displaystyle{f\left( 0 \right) + {e^{f\left( 0 \right)}} = 0 \Rightarrow f\left( 0 \right) < 0}$
Έστω ότι $\displaystyle{f\left( 1 \right) \le 0 \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}} {f\left( 1 \right) \le 0} \\ {{e^{f\left( 1 \right)}} \le 1} \\ \end{array}\mathop \Rightarrow \limits^ + 1 + e \le 1 \Rightarrow e \le 0}$
άτοπο, άρα f(1) > 0 από θεώρημα Bolzano έχουμε τουλάχιστον μία ρίζα στο (0,1) η οποία είναι και μοναδική λόγω μονοτονίας.
δ)
Έστω ότι $\displaystyle{f\left( x \right) \ne x,\forall x \in R}$ , άρα η $\displaystyle{h\left( x \right) = f\left( x \right) - x,x \in R}$
ως συνεχής θα διατηρεί πρόσημο
Για χ = 0 : h(0)=f(0) < 0, συνεπώς θα είναι αρνητική παντού.
Άρα f (1) < 1
Για χ =1 στην σχέση της υπόθεσης
$\displaystyle{f\left( 1 \right) + {e^{f\left( 1 \right)}} = 1 + e \Rightarrow f\left( 1 \right) - 1 = e - {e^{f\left( 1 \right)}} \Rightarrow e - {e^{f\left( 1 \right)}} < 0 \Rightarrow f\left( 1 \right) > 1}$
άτοπο και έχουμε το ζητούμενο.Αν αντικασταστίσουμε στην δοθείσα προκύπτει ότι το σημείο συτό είναι μοναδικό. Συγκεκριμένα είναι το (1,1)

paylos · #3

Μια άλλη απάντηση για το γ) και δ).
Για το γ)
Αρχικά θεωρώ συνάρτηση $h\left(x \right)=x+e^{x}$ η οποία είναι προφανώς 1-1.
Θα δείξω ότι υπάρχει $x_{0}\in R$ τέτοιο ώστε να ισχύει $x_{0}+x_{0}e^{x_{0}}=1$ .
Θεωρώ συναρτηση $g\left(x \right)=x+xe^{x}-1$ με $x\in \left[0,1 \right]$ .
Η g είναι συνεχής στο [0, 1].
$g\left(0 \right)=-1<0$ και $g\left(1 \right)=e>0.$ .
Σύμφωνα με το Θ. Βolzano υπάρχει $x_{0}\in \left(0,1 \right)$ τέτοιο ώστε $x_{0}+x_{0}e^{x_{0}}=1$
Επομένως είναι $h\left(f\left(x_{0} \right) \right)=1$
δηλαδή $h\left(f\left(x_{0} \right) \right)=h\left(0 \right)$ , άρα $f\left(x_{0} \right)=0$ αφού η h είναι 1-1.

Για το δ)
Η αρχική σχέση γράφεται $h\left(f\left(x \right) \right)=x+xe^{x}$
Για χ=1, $h\left(f\left(1 \right) \right)=1+e \Leftrightarrow h\left(f\left(1 \right) \right)=h(1)\Leftrightarrow f\left(1 \right)=1$ , αφού η h είναι 1-1. Άρα ξ=1.

mathxl · #4

Για το καινούργιο υποερώτημα

ε) Έχουμε ήδη δείξει ότι η συνεχής και ορισμένη στο σύνολο των πραγματικών συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα, άρα τα όρια στο -οο ακι +οο αντίστοιχα υπάρχουν και το σύνολο τιμών είναι το $\displaystyle{f\left( R \right) = \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right)} \right)}$

Έστω ότι το όριο στο -οο είναι ο πραγματικός αριθμός k, τότε βάζοντας όρια στα μέλη έχουμε
$\displaystyle{k + {e^k} = - \infty }$
άτοπο, άρα είναι $\displaystyle{{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - \infty }}$

Έστω ότι το όριο στο +οο είναι ο πραγματικός αριθμός k, τότε βάζοντας όρια στα μέλη της δοθείσας έχουμε
$\displaystyle{k + {e^k} = + \infty }$
άτοπο, άρα είναι $\displaystyle{{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty }}$
και τεελιώσαμε

air · #5

mathxl έγραψε: Έχουμε ήδη δείξει ότι η συνεχής και ορισμένη στο σύνολο των πραγματικών συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα, άρα τα όρια στο -οο ακι +οο αντίστοιχα υπάρχουν

Πώς προκύπτει αυτό;;

mathxl · #6

Από το θεώρημα εύρεσης συνόλου τιμών. Όταν η συνάρτηση σου είναι συνεχής στο ανοικτό Δ και γνησίως μονότονη, τότε υποχρεωτικά τα άκρα του συνόλου τιμών είναι τα όρια (εξασφαλίζεται έμμεσα η ύπαρξη τους)

air · #7

Αα ευχαριστώ πολυ!!

Δεν το είχα υπόψην μου..

manos1992 · #8

Η ύπαρξη των ορίων είναι απλή εφαρμογή του ε-δ ορισμού του ορίου(εκτός αν βλέπω κάτι λάθος)...βέβαια εφ όσων η θεωρία του σχολικού βιβλιου στηρίζει το θεώρημα αυτό έτσι δεν έχουμε πρόβλημα ώστε να το χρησιμοποιούμε χωρίς αποδειξη...

G.Tsikaloudakis · #9

Απάντηση στο ε.
Θέτουμε: $\displaystyle{h(x) = x + e^x {\rm{ }}{\rm{, g(x) = x + xe}}^{\rm{x}} }$ ¨.
Οπότε η δοθείσα ισότητα γράφεται:
$\displaystyle{h \circ f = g}$ . Όμως οι $\displaystyle{h,g}$ είναι γνησίως αύξουσες με
$\displaystyle{h(R) = R{\rm{ }},{\rm{ g(R) = R}}$ , οπότε:
$\displaystyle{h(f(R)) = g(R) = R{\rm{ }}}$ και επομένως
$\displaystyle{f(R) = h^{ - 1} \left( R \right) = R}$ .
G.Tsik.

ΔΙΑΦ> ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΔΙΑΦ> ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Re: ΔΙΑΦ> ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Re: ΔΙΑΦ> ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Re: ΔΙΑΦ> ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Re: ΔΙΑΦ> ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Re: ΔΙΑΦ> ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Re: ΔΙΑΦ> ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Re: ΔΙΑΦ> ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Re: ΔΙΑΦ> ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Μέλη σε σύνδεση