Δύο παραβολές

KARKAR · #1

: Δύο παραβολές.png (14.06 KiB) Προβλήθηκε 474 φορές

Βρείτε τις τιμές του πραγματικού

, για τις οποίες η ευθεία : y=ax+1

, εφάπτεται της παραβολής με εξίσωση :

f(x) =a^2x-x^2

. Στη συνέχεια βρείτε την κοινή εφαπτομένη των δύο παραβολών $f_{1}$ και $f_{2}$ , που προέκυψαν .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 31, 2021 1:26 pm
Δύο παραβολές.pngΒρείτε τις τιμές του πραγματικού , για τις οποίες η ευθεία : , εφάπτεται της παραβολής με εξίσωση :

. Στη συνέχεια βρείτε την κοινή εφαπτομένη των δύο παραβολών $f_{1}$ και $f_{2}$ , που προέκυψαν .

: 2 παραβολές.png (18.1 KiB) Προβλήθηκε 441 φορές

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle - {x^2} + {a^2}x = ax + 1 \Leftrightarrow {x^2} + a(1 - a)x + 1 = 0.$ Για να εφάπτεται η ευθεία στην παραβολή, θα πρέπει

$\displaystyle \Delta = 0 \Leftrightarrow {a^4} - 2{a^3} + {a^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow (a - 2)({a^3} + a + 2) = 0 \Leftrightarrow$

$\displaystyle (a - 2)(a + 1)({a^2} - a + 2) = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{a=2}$ ή $\boxed{a=-1}$

$\displaystyle \bullet$ Έχουμε λοιπόν τις παραβολές $\displaystyle {f_1}(x) = - {x^2} + 4x$ και $\displaystyle {f_2}(x) = - {x^2} + x$ και αναζητούμε μία ευθεία που

εφάπτεται σε αυτές στα A, B

με τετμημένες x_1, x_2

αντίστοιχα, με γενική μορφή $\displaystyle y - f({x_0}) = f'({x_0})(x - {x_0})$

Πρέπει λοιπόν, $\displaystyle {f_1}^\prime ({x_1}) = {f_2}^\prime ({x_2}) \Leftrightarrow {x_1} - {x_2} = \frac{3}{2}$ και $\displaystyle {x_1}^2 = {x_2}^2$

απ' όπου προκύπτει ότι $\displaystyle {x_1} = \frac{3}{4}$ και η κοινή εφαπτομένη έχει εξίσωση $\boxed{ y = \frac{5}{2}x + \frac{9}{{16}}}$

Δύο παραβολές

Δύο παραβολές

Re: Δύο παραβολές

Μέλη σε σύνδεση