Δύο όρια

vzf · #1

1)Βρείτε τις πραγματικές παραμέτρους

και

τέτοιες ώστε η $h(x)=\sqrt[3]{8x^3+mx^2}-nx$ να έχει οριζόντια ασύμπτωτη την y=1.

2)Για δύο θετικούς ακεραίους

και

, υπολογίστε το όριο $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt[k]{\sigma \upsilon \nu x}-\sqrt[l]{\sigma \upsilon \nu x}}{x^2}}.$

Math Rider · #2

Μια λύση για το πρώτο όριο στο συνημμένο.
Ελπίζω να έχω σωστά τις πράξεις!

vzf · #3

Σωστές είναι οι πράξεις.

#4

Το 2ο όριο.

Καταρχήν υποθέτω ότι αφού αναφερόμαστε σε ρίζες θα ισχύει για τους φυσικούς k,l ότι k,l>1. Αν όχι οι περιπτώσεις (k=l=1), (k=1, l>1), (k>1, l=1) είναι εύκολες.
Για $\sigma \upsilon \nu x \geq 0$ και για x κοντά στο 0, χρησιμοποιώντας τυροπιτάλ έχουμε ότι:

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt[k]{\sigma \upsilon \nu x}-\sqrt[l]{\sigma \upsilon \nu x}}{x^2}=}$
$\displaystyle{=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\frac{1}{k}(\sigma \upsilon \nu x)^{\left(\frac{1}{k}-1 \right)}(-\eta \mu x)-\frac{1}{l}(\sigma \upsilon \nu x)^{\left(\frac{1}{l}-1 \right)}(-\eta \mu x)}{2x}=}$
$\displaystyle{=\lim_{x\rightarrow0}\left[\frac{-\eta \mu x}{x}\cdot \frac{\frac{1}{k}(\sigma \upsilon \nu x)^{\frac{1-k}{k}}-\frac{1}{l}(\sigma \upsilon \nu x)^{\frac{1-l}{l}}}{2}\right]=-1 \cdot \frac{\frac{1}{k}-\frac{1}{l}}{2}=\frac{k-l}{2kl}}$

Εδώ αξίζει τον κόπο να δούμε για k,l>1 το όριο
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt[k]{\sigma \upsilon \nu x}-\sqrt[l]{\sigma \upsilon \nu x}}{x}}$
χωρίς τυροπιτάλ.

#5

χωρίς τυροπιτάλ

προσθαφαιρούμε τη μονάδα στον αριθμητή και το $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt[k]{\sigma \upsilon \nu x}-1}{x^2}}.$ το υπολογίζουμε χρησιμοποιώντας την $\displaystyle{a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\dots +b^{n-1})}$

προσθήκη:τώρα που βρήκα λίγο χρόνο ας γράψω αναλυτικά ...

$L=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt[k]{\sigma \upsilon \nu x}-\sqrt[l]{\sigma \upsilon \nu x}}{x^2}}=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}\Big(\frac{\sqrt[k]{\sigma \upsilon \nu x}-1}{x^2}+\frac{1-\sqrt[l]{\sigma \upsilon \nu x}}{x^2}\Big)}$

βάζω α τη ρίζα στο δεύτερο κλάσμα (για ευκολία )

$\displaystyle{\lim_{x \to 0} \frac{1-a}{x^2}=\lim_{x \to 0}\Big( \frac{1-\cos x}{x^2}\cdot\frac{1}{(1+a+a^2+...+a^{t-1})}\Big)=\lim_{x \to 0}\Big(\frac{\sin^2{x}}{x^2}\cdot\frac{1}{(1+\cos x).(1+a+a^2+...+a^{t-1})}\Big)=\frac{1}{2t}}$

επομένως

$\displaystyle{L=\frac{1}{2t}-\frac{1}{2k}=\frac{k-t}{2kt}}$

Δύο όρια

Δύο όρια

Re: Δύο όρια

Re: Δύο όρια

Re: Δύο όρια

Re: Δύο όρια

Μέλη σε σύνδεση