Ένα όριο

Tolaso J Kos · #1

Να υπολογιστεί το όριο $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0} \left ( \frac{1}{\sin^2 x} - \frac{1}{x^2} \right )}$ .

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 19, 2024 9:51 pm
Να υπολογιστεί το όριο $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0} \left ( \frac{1}{\sin^2 x} - \frac{1}{x^2} \right )}$ .

Γράφουμε $\displaystyle{ \dfrac{1}{\sin^2 x} - \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{x-\sin x}{x^3}\cdot \dfrac{x^2}{\sin^2 x}\cdot \dfrac{x+\sin x }{x}}$

Τώρα, ο πρώτος παράγοντας με δύο φορές l' Hospital δίνει

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{x-\sin x}{x^3}= \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1-\cos x}{3x^2} = \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin x}{6x}= \dfrac {1}{6}}$ .

O δεύτερος παράγοντας τείνει στο

με χρήση του $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{ x}{\sin x}=1}$ και ο τρίτος δίνει

$\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{x+\sin x }{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \left ( 1 + \dfrac{ \sin x }{x} \right ) = 2}$ .

Όλα μαζί δίνουν ότι το ζητούμενο όριο ισούται με $\displaystyle{\dfrac {1}{3}}$ .

(Υπάρχουν και άλλοι τρόποι αντιμετώπισης).

#3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 19, 2024 9:51 pm
Να υπολογιστεί το όριο $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0} \left ( \frac{1}{\sin^2 x} - \frac{1}{x^2} \right )}$ .

ΛΥΣΗ
Είναι $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{{{\sin }^{2}}x}-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{{{x}^{2}}-{{\sin }^{2}}x}{{{x}^{2}}{{\sin }^{2}}x} \right)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{{{x}^{2}}-{{\sin }^{2}}x}{{{x}^{4}}}\frac{1}{\frac{{{\sin }^{2}}x}{{{x}^{2}}}} \right)=L$
Τώρα έχουμε $\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{{{x}^{2}}-{{\sin }^{2}}x}{{{x}^{4}}} \right)=\frac{\frac{0}{0}}{DLH}\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{2x-2\sin x\cos x}{4{{x}^{3}}} \right)=$
$\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{x-\sin x\cos x}{2{{x}^{3}}} \right)\frac{\frac{0}{0}}{DLH}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1-{{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x}{6{{x}^{2}}} \right)=$
$\displaystyle \frac{1}{3}\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{{{\sin }^{2}}x}{{{x}^{2}}} \right)=\frac{1}{3}$

...με πρόλαβε ο Μιχάλης το αφήνω για το κόπο...
Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

#4

Για ένα 'συγγενές' όριο που συζητήθηκε στο ΦΒ δείτε εδώ, με συνημμένη μια 'σύνοψη' του.

Ένα όριο

Ένα όριο

Re: Ένα όριο

Re: Ένα όριο

Re: Ένα όριο

Μέλη σε σύνδεση