Σχολική απόδειξη;

Tolaso J Kos · #1

Υπάρχει περίπτωση να αποδείξουμε σχολικά ότι $\displaystyle{\lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1}$ ;

giannispapav · #2

Μια απόπειρα:
Έστω x>0

. Εφαρμόζουμε Θ.Μ.Τ. για την f(x)=e^x

στο

. Επομένως υπάρχει $\xi\in (0,x)$ τέτοιο, ώστε $f'(\xi)=\frac{e^x-1}{x}$ .
Άρα $0<\xi<x\Rightarrow f'(0)<f'(\xi)<f'(x)\Rightarrow 1<\dfrac{e^x-1}{x}<e^x$ . Με κριτήριο παρεμβολής βρίσκουμε $\lim\limits_{x\to0^+}\frac{e^x-1}{x}=1$ .

Ομοίως, για x<0

και Θ.Μ.Τ. για την

στο

, δείχνουμε ότι $\lim\limits_{x\to0^-}\frac{e^x-1}{x}=1$ .

Tolaso J Kos · #3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 20, 2024 9:57 pm
Υπάρχει περίπτωση να αποδείξουμε σχολικά ότι $\displaystyle{\lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1}$ ;

Ας επαναδιατυπώσω: μπορούμε να το δείξουμε χωρίς να γνωρίζουμε τη παράγωγο της εκθετικης;

#4

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 20, 2024 9:57 pm
Υπάρχει περίπτωση να αποδείξουμε σχολικά ότι $\displaystyle{\lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1}$ ;

...μήπως ο "Tolaso J Kos" εννοεί κάτι τέτοιο....

Είναι γνωστό ότι ισχύει ${{e}^{x}}\ge x+1,\,\,x\in R$ οπότε ${{e}^{x}}-1\ge x,\,\,x\in R$ και για x>0

κοντά στο

ισχύει ότι $1\le \frac{{{e}^{x}}-1}{x}$ (1)

Επίσης για όπου

το

ισχύει ότι ${{e}^{-x}}\ge -x+1,\,\,x\in R$ ισοδύναμα κοντά στο

$\frac{1}{{{e}^{x}}}\ge -x+1\Leftrightarrow 1\ge (1-x){{e}^{x}}\Leftrightarrow {{e}^{x}}\le \frac{1}{1-x}\Leftrightarrow {{e}^{x}}-1\le \frac{x}{1-x}$ και για x>0

ισχύει

$\frac{{{e}^{x}}-1}{x}\le \frac{1}{1-x}$ έτσι τελικά έχουμε

$1\le \frac{{{e}^{x}}-1}{x}\le \frac{1}{1-x}$ για x>0

και επειδή $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,1=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{1-x}=1$

σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{x}}-1}{x}=1$

Ανάλογα τώρα και για x<0

επομένως τελικά $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{x}}-1}{x}=1$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

#5

KAKABASBASILEIOS έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 21, 2024 12:15 am

Είναι γνωστό ότι ισχύει ${{e}^{x}}\ge x+1,\,\,x\in R$

Βασίλη, και αυτό θέλει παραγώγους.

Για να απαντήσω στον Τόλη: Όχι δεν αποδεικνύεται με σχολικά πλαίσια η παράγωγος της e^x

. Το παίρνουμε ως δεδομένο. Το σχολικό βιβλίο το προσπερνά (και καλά κάνει) λέγοντας απλά "αποδεικνύεται ότι ...".

Αλλά ας ξεκινήσουμε από την αρχή.

Ο αριθμός

ΔΕΝ έχει οριστεί αυστηρά. Στο βιβλίο της Β' Λυκείου αρχίζει με το πρόβλημα του ανατοκισμού, φτάχνει έναν αριθμητικό πίνακα, και κάπου λέει ότι " με κομπιουτεράκι παρατηρούμε ότι...". Δηλαδή οδηγός μας είναι (και σωστά για αυτή την τάξη) η διαίσθηση και όχι η αυστηρότητα.

Πάμε πιο πίσω. Στο σχολικό δεν έχει οριστεί αυστηρά ούτε η εκθετική συνάρτηση a^x

για άρρητο

ακόμα και για απλά

, π.χ.

, πόσο μάλλον για a=e

. Απλά κάπου λέει ότι παίρνουμε ακολουθία ρητών $q_n\to x$ και μετά δηλώνει ότι αποδεικνύεται ότι ο $a^{q_n}$ "πλησιάζει" (τα εισαγωγικά δικά του), κάποιον αριθμό που στο τέλος τον συμβολίζουμε a^x

.

Το σχολικό βιβλίο πολύ σωστά χρησιμοποιεί την διαίσθηση γιατί οι μαθητές δεν έχουν, εκείνη την στιγμή, το Μαθηματικό υπόβαθρο να αποδείξουν αυστηρά όσα χρησιμοποιούν ως δεδομένα. Οι απαραίτητες γνώσεις απαιτούν αυστηρή κατασκευή των πραγματικών (π.χ. με τομές Dedekind) και αξιωματική τους θεμελίωση με χρήση του Αξιώματος Πληρότητας. Δηλαδή βαρύ πυροβολικό. Αυτά τα μαθαίνει κανείς στο Πανεπιστήμιο, σε σπουδές Μαθηματικών. Και σε διαβεβαιώνω ότι ούτε εκεί δεν γίνονται πλήρως κατανοητά, παρά μόνο σε καλούς, γερούς, φοιτητές. Για τους πολλούς μένουν "ψιλά γράμματα".

Εν κατακλείδι, μην περιμένεις σωστή τεκμηρίωση του (e^x)'=e^x

. Εδώ μας λείπουν (και σωστά) πιο βασικά εργαλεία. Ούτε ποιος είναι ο

ξέρουμε, ούτε τι θα πει εκθετική συνάρτηση.

Σχολική απόδειξη;

Σχολική απόδειξη;

Re: Σχολική απόδειξη;

Re: Σχολική απόδειξη;

Re: Σχολική απόδειξη;

Re: Σχολική απόδειξη;

Μέλη σε σύνδεση