Εύρεση συναρτήσεων

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

abgd · #2

orestisgotsis έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 26, 2024 4:22 pm
Να βρείτε τις συναρτήσεις οι οποίες είναι ορισμένες και δύο φορές παραγωγίσιμες

στο $\mathbb{R}$ , έτσι ώστε να ισχύει: $f\left( x \right)-f\left( y \right)=\left( x-y \right){f}'\left( \displaystyle\frac{x+y}{2} \right),\,\,\forall \,x,y\in \mathbb{R}$ .

Παραγωγίζοντας ως προς $\displaystyle{x}$ έχουμε: $\displaystyle{f'(x)=f'\left(\frac{x+y}{2}\right)+\frac{x-y}{2}f''\left(\frac{x+y}{2}\right)}$

και για $\displaystyle{x=0 }$ είναι $\displaystyle{f'(0)=f'\left(\frac{y}{2}\right)-\frac{y}{2}f''\left(\frac{y}{2}\right)}$

για $\displaystyle{\frac{y}{2}:x ,\ \ f'(0)=b}$ ...

$\displaystyle{xf''(x)-f'(x)=b \Rightarrow \left(\frac{f'(x)}{x}\right)'=\left(\frac{b}{x}\right)', \ \ x\ne 0}$

Έτσι έχουμε: $\displaystyle{\frac{f'(x)}{x}=\frac{b}{x}+2a \color{red}{\Rightarrow ^*} f'(x)=2ax+b, x \ne 0}$ , η οποία ισχύει και για $\displaystyle{x=0}$

Άρα $\displaystyle{\boxed{f(x)=ax^2+bx+c, \ \ x \in \mathbb{R}}}$ και $\displaystyle{a,b,c}$ τυχαίοι πραγματικοί αριθμοί.

Εύκολα βλέπουμε ότι οι παραπάνω συναρτήσεις ικανοποιούν την ισότητα που θέλουμε να ισχύει.

Σημείωση: Οι συναρτήσεις αυτές έχουν την εξής γεωμετρική ιδιότητα: Κάθε "χορδή" της γραφικής τους παράστασης είναι παράλληλη στην εφαπτομένη στο σημείο της γραφικής τους παράστασης με τετμημένη τη τετμημένη του μέσου της χορδής.

* :Υπάρχει μια παράλειψη, η οποία διευθετείται παρακάτω...

#3

μια άλλη αλλαγή μεταβλητής που αφορά την συμμετρία είναι να θέσουμε
$\displaystyle{x=x_0/2+h,y=x_0/2-h}$ με μεταβλητή το $\displaystyle{h}$
και παραγωγίζοντας...
μετα θα θέσουμε $\displaystyle{h=x_0/2}$ κι έτσι θα καταλήξουμε $\displaystyle{f'(x_0)}$ σταθερή...

KARKAR · #4

Το αντίστροφο της πρότασης είναι εφαρμογή του σχολικού βιβλίου . Έχω πάντως την εντύπωση

ότι το πρόβλημα - όπως τέθηκε - δεν είναι κατάλληλο για τον σχολικό φάκελο ...

#5

abgd έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 27, 2024 1:05 am
$\displaystyle{xf''(x)-f'(x)=b \Rightarrow \left(\frac{f'(x)}{x}\right)'=\left(\frac{b}{x}\right)', \ \ x\ne 0}$

Έτσι έχουμε: $\displaystyle{\frac{f'(x)}{x}=\frac{b}{x}+2a \Rightarrow f'(x)=2ax+b, x \ne 0}$ , η οποία ισχύει και για $\displaystyle{x=0}$

Θα ήθελα να κάνω μικρό σχόλιο σε αυτό το βήμα: Κανονικά επιλύουμε την παραπάνω διαφορική εξίσωση χωριστά στο $(-\infty , \, 0)$ και στο $(0, \infty )$ . Οπότε η σταθερά

που βγαίνει είναι (κατ' αρχήν) διαφορετική στον ένα κλάδο από τον άλλο. Δηλαδή έχουμε αντίστοιχα f(x) = a_1x^2+bx+c

και

εκατέρωθεν του

. Όμως μπορούμε τελικά να δείξουμε (με διάφορους τρόπους) ότι a_1=a_2

. Π.χ. για y=-x

, οπότε τα x,y

είναι εκατέρωθεν του

, η αρχική δίνει

(a_1x^2+bx+c) - (a_2x^2-bx+c) = 2(x+x) f'(0)

δηλαδή

, από όπου a_1=a_2

.

abgd · #6

Μιχάλη καλημέρα. Ναι....δίκιο έχεις - Απροσεξία μου.

Θα έπρεπε να το προχωρήσω ως εξής:

Είναι $\displaystyle{.....f'(x)=2a_1x+b, x>0}$ και $\displaystyle{f'(x)=2a_2x+b, x<0}$

Αφού η $\displaystyle{f'}$ είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{0}$ θα έχουμε:

$\displaystyle{\lim_{x\to 0^+}{\frac{f'(x)-f'(0)}{x}}=\lim_{x\to 0^-}{\frac{f'(x)-f'(0)}{x}}\Rightarrow a_1=a_2(=a)}$

Άρα $\displaystyle{f'(x)=2ax+b, x\ne 0}$ και εφόσον αυτή η ισότητα ισχύει και για $\displaystyle{x=0}$ , θα είναι:

$\displaystyle{f'(x)=2ax+b, \forall x\ \in \mathbb{R}}$

Εύρεση συναρτήσεων

Εύρεση συναρτήσεων

Re: Εύρεση συναρτήσεων

Re: Εύρεση συναρτήσεων

Re: Εύρεση συναρτήσεων

Re: Εύρεση συναρτήσεων

Re: Εύρεση συναρτήσεων

Μέλη σε σύνδεση