Απόδειξη ανισότητας

abgd · #1

Για την συνάρτηση $\displaystyle{ f(x)=\frac{lnx}{x}, \ \ x>0}$ να δειχθεί η ανισότητα

$\displaystyle{ f(2e-x)>f(x), \ \ \forall x \in (0,e)}$

Tolaso J Kos · #2

abgd έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 07, 2024 10:11 am
Για την συνάρτηση $\displaystyle{ f(x)=\frac{lnx}{x}, \ \ x>0}$ να δειχθεί η ανισότητα

$\displaystyle{ f(2e-x)>f(x), \ \ \forall x \in (0,e)}$

Η

είναι παραγωγίσιμη στο $(0, +\infty)$ με παράγωγο $\displaystyle{f'(x) = \frac{1- \ln x}{x^2}}$ · Είναι

$\displaystyle{f'(x) \geq 0 \Leftrightarrow 1 - \ln x \geq 0 \Leftrightarrow \ln x \leq 1 \Leftrightarrow x \leq e}$
Συνεπώς, η

είναι γνησίως αύξουσα στο (0,e]

. Άρα,

$\displaystyle{x< e \Leftrightarrow 2x < 2e \Leftrightarrow x < 2e - x \Leftrightarrow f (x) < f \left ( 2e-x \right )}$
και η ανισότητα απεδείχθη.

Η λύση μου είναι λάθος… την αφήνω προς αποφυγήν …

#3

Αρκεί να δειχθεί ότι είναι φθίνουσα η συνάρτηση g(x)=xln(2e-x)-(2e-x)lnx

στο διάστημα (0,e).

Η ζητούμενη g'(x)<0

για

προκύπτει από την

$ln[x(2e-x)]<2<\dfrac{x}{2e-x}+\dfrac{2e-x}{x},$

με την πρώτη ανισότητα να είναι ισοδύναμη προς την 0<(e-x)^2.

abgd · #4

gbaloglou έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 07, 2024 11:57 pm
Αρκεί να δειχθεί ότι είναι φθίνουσα η συνάρτηση στο διάστημα Η ζητούμενη για προκύπτει από την

$ln[x(2e-x)]<2<\dfrac{x}{2e-x}+\dfrac{2e-x}{x},$

με την πρώτη ανισότητα να είναι ισοδύναμη προς την

Γιώργο ευχαριστώ για την απόδειξη....

Έχω υπόψιν μου μια λίγο διαφορετική απόδειξη αλλά ούτε αυτή είναι απλή. Η απόδειξη γενικά αυτής της ανισότητας έχει δυσκολίες και παγίδες.

Για τη διευκόλυνση της ανάγνωσης της παραπάνω απόδειξης του Γιώργου, γράφω τα παρακάτω:

Η παράγωγος της συνάρτησης $\displaystyle{g(x)=xln(2e-x)-(2e-x)lnx}, \ \ x\in (0,e]$ είναι:

$\displaystyle{g'(x)=ln(2e-x)-\frac{x}{2e-x}+lnx-\frac{2e-x}{x}= ln\left(x(2e-x)\right)- \left(\frac{x}{2e-x}+\frac{2e-x}{x}\right), \ \ x\in (0,e]$

Γνωρίζουμε ότι η τελευταία παρένθεση είναι μεγαλύτερη ή ίση του

, αφού οι όροι του αθροίσματος είναι θετικοί αντίστροφοι αριθμοί. Το ίσον ισχύει για x=e

.

Αν τώρα θεωρήσουμε τη συνάρτηση $\displaystyle{h(x)= ln\left(x(2e-x)\right), \ \ x\in (0,e]$ και παραγωγίσουμε θα βρούμε ότι:

$\displaystyle{h'(x)= \frac{2(e-x)}{x(2e-x)}>0, \ \ x\in (0,e)$ .

Έτσι, η συνάρτηση

είναι γνησίως αύξουσα οπότε

$\displaystyle{ ln\left(x(2e-x)\right)=h(x)<h(e)=2< \left(\frac{x}{2e-x}+\frac{2e-x}{x}\right), \ \ x\in (0,e)$
άρα
$\displaystyle{g'(x)<0, \ \ x\in (0,e)$ ...................

#5

Κώστα σ' ευχαριστώ και εγώ, και κάνω δύο παρατηρήσεις:

(Ι) Στην παραπάνω απόδειξη σου δεν χρειαζόμαστε παραγώγους στο τέλος, καθώς η ln(x(2e-x))<2

είναι ισοδύναμη προς την $e^{ln(x(2e-x))} <e^2$ και άρα προς την x(2e-x)<e^2

και την

[Ενδιαφέρον το ότι χρησιμοποιήθηκε ΔΥΟ φορές η (a-b)^2>0

για $a\neq b$ ...]

(II) Απομακρυνόμενοι από τα παραπάνω ... ΑΝ μπορούμε να αποδείξουμε την $\dfrac{lnx}{x}=\dfrac{lny}{y}\rightarrow \dfrac{x+y}{2} >e$ ... τότε έχουμε άμεσα την αποδεικτέα ... μέσω x<2e-x<y

κλπ

[Μπορούμε να το δούμε και ανάποδα: η αρχικώς ζητούμενη (που έχουμε ήδη αποδείξει) συνεπάγεται την (μάλλον πιο ενδιαφέρουσα) $\dfrac{lnx}{x}=\dfrac{lny}{y}\rightarrow \dfrac{x+y}{2} >e$ !]

abgd · #6

gbaloglou έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 08, 2024 11:45 pm

(Ι) Στην παραπάνω απόδειξη σου δεν χρειαζόμαστε παραγώγους στο τέλος, καθώς η είναι ισοδύναμη προς την $e^{ln(x(2e-x))} <e^2$ και άρα προς την και την

Πολύ καλό και απλό Γιώργο!.... δεν το είδα, αν και το ανέφερες!

gbaloglou έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 08, 2024 11:45 pm

[Μπορούμε να το δούμε και ανάποδα: η αρχικώς ζητούμενη (που έχουμε ήδη αποδείξει) συνεπάγεται την (μάλλον πιο ενδιαφέρουσα) $\dfrac{lnx}{x}=\dfrac{lny}{y}\rightarrow \dfrac{x+y}{2} >e$ !]

Ναι!

Ουσιαστικά ήταν η αφορμή για τη δημιουργία της ανισότητας.

Απόδειξη ανισότητας

Απόδειξη ανισότητας

Re: Απόδειξη ανισότητας

Re: Απόδειξη ανισότητας

Re: Απόδειξη ανισότητας

Re: Απόδειξη ανισότητας

Re: Απόδειξη ανισότητας

Μέλη σε σύνδεση