Παράλληλες εφαπτόμενες (συνέχεια)

KARKAR · #1

Με αφορμή την άσκηση αυτή : Να εξετάσετε αν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων :

$f(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$ και : $g(x)=\dfrac{x^2}{4}+\ln(\sqrt{x})$ , έχουν παράλληλες εφαπτόμενες .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 20, 2024 7:56 pm
Με αφορμή την άσκηση αυτή : Να εξετάσετε αν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων :

$f(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$ και : $g(x)=\dfrac{x^2}{4}+\ln(\sqrt{x})$ , έχουν παράλληλες εφαπτόμενες .

Έχουν ακριβώς ένα ζεύγος από παράλληλες εφαπτόμενες καθώς

α) $\displaystyle{f'(x)= 1 - \dfrac {(e^{x}-e^{-x} )^2} {(e^{x}+e^{-x} )^2} \le 1}$ με ισότητα μόνο αν x=0

και

β) Για την

, η οποία ορίζεται μόνo για x>0

, ισχύει $\displaystyle{g'(x) = \dfrac {1}{2} \left ( x+ \dfrac {1}{x} \right ) \ge 1}$ με ισότητα μόνο αν x=1

.

Άρα έχουμε f'(x_1) = g'(x_2)

μόνο για το ζεύγος $x_1=0, \, x_2=1$ , οπότε και τα δύο μέλη είναι ίσα με

. Για όλα τα άλλα ισχύει g'(x_3) > f'(x_4)

.

(Διόρθωσα λογιστικό σφάλμα που μου υπέδειξε ο Γιώργος exdx, τον οποίο ευχαριστώ).

Παράλληλες εφαπτόμενες (συνέχεια)

Παράλληλες εφαπτόμενες (συνέχεια)

Re: Παράλληλες εφαπτόμενες (συνέχεια)

Μέλη σε σύνδεση