απόδειξη ανίσωσης

vanalex · #1

Καλησπέρα σε όλους!

Έστω μια συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο [0, 2] με f(0) + f(2) = f(1). Να δείξετε ότι:
Α. Υπάρχουν $\xi _{1}, \xi _{2} \in (0, 2)$ με $\xi _{1} < \xi _{2}$ τέτοια ώστε $f{'}(\xi _{1}) = f{'}(\xi _{2}) + f(1)$ .

B. Αν $\left|f{''}(x) \right|\leq 1$ για κάθε $x\in (0, 2)$ , τότε $\left|f(1) \right|<2$ .

kwstas12345 · #2

Γιατι βιάζομαι..

Για το 1)

Εφαρμόζω ΘΜΤ στο (0,1) οπότε:

$f'\left(\xi _{1} \right)=\frac{f\left(1 \right)-f\left(0 \right)}{1-0}\Leftrightarrow f\left(1 \right)=f\left(0 \right)+f'\left(\xi _{1} \right)\Leftrightarrow f\left(0 \right)+f\left(2 \right)=f\left(0 \right)+f'\left(\xi \frac{\partial 1}{\partial x} \right)\Leftrightarrow f'\left(\xi _{1} \right)=f\left(2 \right),\xi _{1}\epsilon \left(0,1 \right)$

Eφαρμόζω ΘΜΤ στο (1,2): $f'\left(\xi_{2}\right)=\frac{f\left(2 \right)-f\left(1 \right)}{2-1}=f'\left(\xi _{1} \right)-f\left(1 \right) ,\xi _{1}<\xi _{2}$

kwstas12345 · #3

Για το ιι)
Εφαρμόζω ΘΜΤ στο διάστημα [ξ1,ξ2] για την f'

Άρα:

$f''\left(\xi _{3} \right)=\frac{f'\left(\xi _{2} \right)-f'\left(\xi _{1} \right)}{\xi _{2} -\xi _{1} }=-\frac{f\left(1 \right)}{\xi _{2} -\xi _{1}}\Rightarrow \left| f''\left(\xi _{3} \right)\right|=\frac{\left| f\left(1 \right)\right|}{\left|\xi _{2} -\xi _{1} \right|},\xi _{3}\epsilon \left(\xi _{1},\xi _{2} \right)\subset \left[0,2 \right]$

Oπότε: $\left| f''\left(\xi _{3} \right)\right|=\frac{\left| f\left(1 \right)\right|}{\left|\xi _{2} -\xi _{1} \right|}\leq 1\Leftrightarrow \left| f\left(1 \right)\right|\leq \left|\xi _{2} -\xi _{1} \right|=\xi _{2}-\xi _{1}<2,$

Aφού: $0<\xi _{1}<1\Rightarrow -1<-\xi _{1}<0 \kappa \alpha \iota 1<\xi _{2}<2\Rightarrow 0<\xi _{2}-\xi _{1}<2$

vanalex · #4

Σ' ευχαριστώ που ασχολήθηκες, αυτό είχα κι εγώ στο μυαλό μου..

#5

Νομίζω ότι μπορούμε να αποκτήσουμε καλύτερο φράγμα για το $\displaystyle{f(1)}$
Από Taylor γύρω απο το σημείο 1 έχουμε $\displaystyle{f(x)=f(1)+(x-1)f'(1)+\frac{(x-1)^2}{2}f''(\xi )}$ για κάποιο $\displaystyle{\xi }$ κοντά στο 1. Τότε για χ=0 και χ=2 η προηγούμενη σχέση δίνει
$\displaystyle{f(0)=f(1)-f'(1)+\frac{f''(\xi _1)}{2}}$
$\displaystyle{f(2)=f(1)+f'(1)+\frac{f''(\xi _2)}{2}}$
με $\displaystyle{\xi_1 \in (0,1) , \xi_2 \in (1,2)}$
Αν προσθέσουμε κατά μελη θα έχουμε
$\displaystyle{f(0)+f(2)=2f(1)+\frac{f''(\xi _1)+f''(\xi _2)}{2}}$ ή $\displaystyle{-2f(1)=f''(\xi _1)+f''(\xi _2)}$ οπότε παίρνοντας απόλυτα και τριγωνική καταλήγουμε στην $\displaystyle{2|f(1)|\le 1+1}$ δηλαδή $\displaystyle{|f(1)|\le 1}$

Σαν έναν ακόμη άλλον τρόπο πιστεύω πως βγαίνει και με 2 ολοκληρώσεις και ανισότητες μονοτονίας

vanalex · #6

Πάρα πολύ ωραία λύση, ευχαριστώ πολύ!

απόδειξη ανίσωσης

απόδειξη ανίσωσης

Re: απόδειξη ανίσωσης

Re: απόδειξη ανίσωσης

Re: απόδειξη ανίσωσης

Re: απόδειξη ανίσωσης

Re: απόδειξη ανίσωσης

Μέλη σε σύνδεση