θεωρητική μονοτονίας

vanalex · #1

Καλησπέρα σε όλα τα μέλη!

Έστω μια συνάρτηση $f:[\alpha , \beta ]\rightarrow R$ η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ισχύει
f''(x)>0

για κάθε $x\in (\alpha ,\beta )$ . Να δείξετε ότι η συνάρτηση $g(x)=\frac{f(x)-f(\alpha )}{x-\alpha }$ είναι γνησίως αύξουσα στο (α, β).

mathxl · #2

Η f ικανοποιεί τις προυποθέσεις του ΘΜΤ στο [α,χ] με $\displaystyle{\alpha < x \le \beta }$

άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ του (α,χ) τέτοιο ώστε $\displaystyle{f'\left( \xi \right) = \frac{{f\left( x \right) - f\left( \alpha \right)}}{{x - \alpha }}}$

Επειδή η δεύτερη παράγωγος είναι θετική στο (α,β) η πρώτη παράγωγοε θα είναι γνησίως αύξουσα στο [α,χ] ως συνεχής (συνεχής ως παραγωγίσιμη) σε αυτό
Άρα
$\displaystyle{\xi < x \Rightarrow f'\left( \xi \right) < f'\left( x \right) \Rightarrow \frac{{f\left( x \right) - f\left( \alpha \right)}}{{x - \alpha }} < f'\left( x \right) \Rightarrow }$

$\displaystyle{\left( {x - \alpha } \right)f'\left( x \right) - f\left( x \right) + f\left( \alpha \right) > 0 \Rightarrow g'\left( x \right) > 0}$
για κάε χ του (α,β) άρα g γνησίως αύξουσα στο (α,β] ως συνεχής σε αυτό

vanalex · #3

Σ' ευχαριστώ πολύ Βασίλη! Μια άλλη προσέγγιση είναι ότι θα πρέπει g'(x)>0

δηλαδή:

$g'(x)=\frac{f'(x)(x-\alpha )-(f(x)-f(\alpha ))}{\left(x-\alpha \right)^{2}}>0$

Θεωρώ τη συνάρτηση $h(x)=f'(x)(x-\alpha )-(f(x)-f(\alpha ))$ της οποίας η παράγωγος είναι:

$h'(x)=f''(x)(x-\alpha )+f'(x)-f'(x)=f''(x)(x-\alpha )>0$ άρα η h γνησίως άυξουσα στο (α, β). Οπότε:

Για $x>\alpha \Leftrightarrow h(x)>h(\alpha )\Leftrightarrow f'(x)(x-\alpha )-\left(f(x)-f(\alpha ) \right)>f'(\alpha )(\alpha -\alpha )-\left(f(\alpha )-f(\alpha ) \right)\Leftrightarrow f'(x)(x-\alpha )-\left(f(x)-f(\alpha ) \right)>0$

άρα g'(x)>0

για κάθε $x\in (\alpha ,\beta )$ .

#4

Καλησπέρα να δώσω και εγώ μία προσέγγιση (συνδυαστική)
$g'(x)=\frac{f'(x)(x-\alpha)-(f(x)-f(\alpha ))}{(x-\alpha )^2}=\frac{1}{(x-\alpha)}\cdot [f'(x)-\frac{f(x)-f(\alpha )}{x-\alpha }]$
Η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ στο [α,x] $\subseteq$ [α,β] άρα θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ στο (α,x)τέτοιο ώστε
$f'(\xi )=\frac{f(x)-f(\alpha )}{x-\alpha }$
Άρα η $g'(x)=\frac{1}{x-\alpha}\cdot [f'(x)-f'(\xi)]$
και αφού f ''(x) > 0 ,η f ' (x) είναι γνησίως αύξουσα και με $\xi \in (\alpha ,x)$ έχουμε ότι
f '(x) >f '(ξ) και επομένως η g είναι γνησίως αύξουσα

Χρήστος

Υ.Γ.
από ότι βλέπω μοιάζει με του Βασίλη αλλά την αφήνω

θεωρητική μονοτονίας

θεωρητική μονοτονίας

Re: θεωρητική μονοτονίας

Re: θεωρητική μονοτονίας

Re: θεωρητική μονοτονίας

Μέλη σε σύνδεση