Ανισότητα

mathxl · #1

Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη στο [0,+οο) συνάρτηση f για την οποία ισχύουν
$\displaystyle{f^{\prime\prime}\left( x \right) + 3{\left[ {f^{\prime}\left( x \right)} \right]^2} = \frac{{1 - {e^{ - x}}}}{x},\forall x \in \left( {0, + \infty } \right)}$
$\displaystyle{f\left( 0 \right) = f^{\prime}\left( 0 \right) = 0}$ Να δείξετε ότι η $\displaystyle{g\left( x \right) = 2f\left( x \right) - {x^2},x \in \left[ {0, + \infty } \right)}$ είναι μή θετική.

giannisn1990 · #2

Είναι
$\displaystyle 3(f^\prime(x))^{2}=\frac{e^{x}-1}{x\cdot e^{x}}-\frac{df^{2}(x)}{dx^{2}}\geq 0\Leftrightarrow \frac{df^{2}(x)}{dx^{2}}-1\leq\frac{e^{x}-1}{x\cdot e^{x}}-1=\frac{e^{x}-1-x\cdot e^{x}}{x\cdot e^{x}}=\frac{h(x)}{x\cdot e^{x}}$

όπου $\displaystyle h(x)=e^{x}-1-x\cdot e^{x}$ με $x\geq 0$
Βρίσκουμε $h^\prime(x)=-xe^{x}<0$ άρα η $\displaystyle h$ είναι γνησίως φθίνουσα και συνεπώς με $\displaystyle x>0\Leftrightarrow h(x)<h(0)=0\Rightarrow\frac{h(x)}{x\cdot e^{x}}<0$ άρα $\displaystyle \frac{df^{2}(x)}{dx^{2}}< 1$ .Οπότε παίρνωντας την 2η παράγωγο της $\displaystyle g$ ,έχουμε $\displaystyle \frac{dg^{2}(x)}{dx^{2}}=2(\frac{df^{2}(x)}{dx^{2}}-1)< 0$ ,άρα η $\displaystyle g$ είναι γνησίως φθίνουσα οπότε $\displaystyle x\geq 0\Leftrightarrow g(x)\leq g(0)=0$

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση