Όριο

mathxl · #1

Να υπολογίσετε το όριο
$\displaystyle{\mathop {\lim }\displaystyle\limits_{x \to {0^ + }} \left[ {{e^{\eta \mu x}}\ln \left( {\eta \mu x + + x} \right) - \ln x} \right]}$

#2

$\displaystyle{e^{\sin x}\ln(\sin(x)+x)-\ln x=e^{\sin x}\ln(\sin(x)+x)-e^{\sin x}\ln x+e^{\sin x}\ln x-\ln x=\underbrace{e^{\sin x}\ln\Big(\frac{\sin x}{x}+1\Big)}_{f(x)}+\underbrace{\ln x(e^{\sin x}-1)}_{g(x)}}$

Τώρα $\displaystyle{f(x)\stackrel{x\to0^+}{\longrightarrow}\ln2}$ ενώ

$\displaystyle{\lim_{x\to0^+}g(x)=\lim_{x\to0^+}\frac{\ln x}{1/(e^{\sin x}-1)}\stackrel{DLH}{=}\lim_{x\to0^+}-\frac{(e^{\sin x}-1)^{2}}{x\cos x e^{\sin x}}}$ και αφενός

$\displaystyle{1/e^{\sin x}\to1}$ , αφετέρου $\displaystyle{\lim_{x\to0^+}-\frac{(e^{sin x}-1)^{2}}{x\cos x}\stackrel{DLH}{=}\lim_{x\to0^+}-\frac{2(e^{\sin x}-1)\cos x e^{\sin x}}{\cos x-x\sin x}\to0}$ .

Άρα $\displaystyle{g(x)\to0}$ και τελικά το όριο είναι $\displaystyle{\ln 2}$ .

mathxl · #3

Έχουμε την ίδια λύση

απλά εγώ έβγαλα κοινό παράγοντα το χ μέσα στο λογάριθμο και έσπασα το γινόμενο σε άθροισμα λογαρίθμων κτλ.

Το θέμα το κατασκεύασα από μία άσκηση που έβαλες ΄στα όρια και ολοκληρώματα ασκ48.

#4

Ναι!

βγάζω και εκεί.

Όριο

Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Μέλη σε σύνδεση