Απορία σε εμβαδόν χωρίου

hsiodos · #1

Καλημέρα και καλό μήνα
Μετά από συζήτηση με καλό διαδυκτιακό φίλο (μέλος του mathematica) με τον οποίο μάλλον διαφωνούμε , επαναφέρω ερώτημα που έχει τεθεί ξανά.

To εμβαδόν του χωρίου που περικλέιεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, με
f (x) = x^2-1

, τον άξονα x΄x και την ευθείας x = 2 , είναι
E= $\int_{1}^{2}f(x)dx$
ή
E= $\int_{-1}^{2}{\left|f(x) \right|dx}$

Η δική μου γνώμη είναι πως σωστό είναι το δεύτερο.

Γιώργος

k-ser · #2

Πολύ καλή η ερώτηση.
Καλό είναι βέβαια, αν τεθεί ως θέμα εξετάσεων ή διαγωνίσματος, να δοθεί και η δεύτερη ευθεία: χ=1 ή χ=-1.
Δεν προσπαθούμε να στήσουμε παγίδες στους διαγωνιζόμενους!
Αν κάποιος σκεφτεί να πάρει την πρώτη περίπτωση,
πως θα απαντούσε στην ερώτηση:
ποιο είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C_f

τον χ΄χ και τις ευθείες χ=-2, χ=2 ;

Γενικά, στα θέματα με τα εμβαδά των χωρίων, θα πρέπει να διατυπώνονται προσεκτικά ώστε να είναι αδιαμφισβήτητος ο ορισμός του χωρίου.

#3

hsiodos έγραψε:E= $\int_{-1}^{2}{\left|f(x) \right|dx}$

Σωστά. Το εμβαδόν είναι πάντα θετικό. Αυτόν το τύπο, άλλωστε, δίνουν
όλα τα βιβλία Απειροστικού Λογισμού.

Αυτή την στιγμή δεν έχω μπροστά μου το Σχολικό βιβλίο, αλλά από ότι θυμάμαι η σύνδεση
εμβαδού και ολοκλήρωσης γίνεται για θετικές συναρτήσεις. Ακριβώς για να αποφύγουμε αρνητικά εμβαδά.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

#4

Καλημέρα και καλό μήνα.
Το έχουμε συζητήσει και στο παρελθόν. Η γνώμη που έχω εκφράσει είναι ότι γενικά η φράση "που περικλείεται από ..." δεν είναι σαφής και μπορεί να οδηγήσει σε παρανοήσεις. Συμφωνώ με τον Κώστα ότι εδώ δεν χωράνε παγίδες και επομένως απαιτείται σφέστερη περιγραφή του χωρίου.
Ας διαλέξουμε σε δύο "ισόμορφα" προβλήματα:
Το εμβαδόν που περικλείεται από την γραφική παράσταση της y=x^2-1

και τις

,

είναι ποιό;
Αυτό;

: area1.png (16.71 KiB) Προβλήθηκε 3503 φορές

ή αυτό;

: area2.png (16.67 KiB) Προβλήθηκε 3502 φορές

Το εμβαδόν που περικλείεται από την γραφική παράσταση της y=x^2-1

και τις

, $y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$ είναι ποιό;
Αυτό;

: area3.png (19.27 KiB) Προβλήθηκε 3501 φορές

ή αυτό;

: area4.png (19.79 KiB) Προβλήθηκε 3501 φορές

Μαυρογιάννης

lonis · #5

Καλημέρα και καλό μήνα κι από μένα, αν και τόσο μουντή και βροχερή πρωτομαγιά δε θυμάμαι...

Όταν δεν αναφέρουμε τις κατακόρυφες ευθείες που ορίζουν συγκεκριμένο χωρίο ανάμεσα στη γραφική παράσταση συνάρτησης και τον άξονα x'x, τότε νοούμε ως τέτοιες τις κάθετες στα σημεία τομής της παράστασης με τον άξονα. Το χωρίο που ορίζεται με αυτό τον τρόπο - το οποίο μπορεί να διασπάται σε άθροισμα επιμέρους χωρίων - έχει οριστεί με σαφήνεια. Δεν μπορεί να παρεξηγήσει κανείς και να θεωρήσει πως μιλάμε για κάποιο άλλο χωρίο. Γιατί συμβαίνει αυτό; Μα επειδή, σαρώνοντας το χωρίο από αριστερά προς δεξιά, συμμετέχουν συνεχώς στη διαμόρφωσή του, στο "φράξιμό" του, τόσο η γραφική παράσταση όσο και ο άξονας x'x.

Στην περίπτωση που αναφέρεις, Γιώργο, επειδή η ευθεία x=2 δε συμμετέχει συνεχώς στη διαμόρφωση του χωρίου που φαίνεται να προτιμάς, συμπεραίνω ότι το ολοκλήρωμα που υπολογίζει το εμβαδό του χωρίου που αναφέρει η εκφώνηση, είναι το πρώτο από τα δύο. Το δεύτερο ολοκλήρωμα υπολογίζει και το εμβαδό ανάμεσα στη γραφική παράσταση και τον x'x, στο οποίο η x=2 δεν συμμετέχει καθόλου. Περιμένω, βέβαια, και τια απόψεις άλλων συναδέλφων.

Φιλικά, Λεωνίδας

ΥΓ: Βλέπω ότι μεσολάβησαν δύο απαντήσεις. Δεν τις διαβάζω αφού πληκτρολογούσα τόση ώρα...

#6

Aν και πρεπει να ειναι πιο σαφης η ερωτηση

Στην πρωτη περιπτωση που αναφερει ο Γεωργος

To εμβαδόν του χωρίου που περικλέιεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, με
f (x) = , τον άξονα x΄x και την ευθείας x = 2 , είναι
Απαντηση
Εχουμε εμβαδον μεταξυ τριων γραμμων αρα σωστο ειναι το

: Clipboard01.gif (7.22 KiB) Προβλήθηκε 3464 φορές

E= $\int_{1}^{2}{\left|f(x) \right|dx}$

To εμβαδόν του χωρίου που περικλέιεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, με
f (x) = , τον άξονα x΄x και την ευθείας x = -2,x = 2
Απαντηση
Στην δευτερη που αναφερει ο Κωστας ειναι μεταξυ της ζωνης των ευθειων χ=-2 και χ=2

: Clipboard02.gif (8.09 KiB) Προβλήθηκε 3466 φορές

οποτε E= $\int_{-2}^{2}{\left|f(x) \right|dx}$

#7

καλημέρα και καλό μήνα

στο 1ο σχήμα του κ. Μαυρογιάννη

το (κόκκινο) χωρίο που βρίσκεται πάνω από τον χ΄χ είναι αυτό που περικλείεται από την παραβολή,την χ=2 και τον χ΄χ

ενώ αυτό που βρίσκεται κάτω από τον χ΄χ είναι αυτό που περικλείεται από την παραβολή και τον χ΄χ

στο 3ο σχήμα

αυτό που βρίσκεται πάνω από τον χ΄χ ειναι αυτό που περικλείεται απο την
παραβολή,την ευθεία ψ=1/2 χ-1/2 και την χ=2

ενώ αυτό που βρίσκεται από κάτω ,περικλείεται απο την παραβλή και την ευθεια ψ=1/2*χ -1/2

#8

lonis έγραψε: Καλημέρα και καλό μήνα κι από μένα, αν και τόσο μουντή και βροχερή πρωτομαγιά δε θυμάμαι...

Λεωνίδα,
Ευκαιρία λοιπόν να σκέφτεσαι τουχρόνου, εσύ και οι υπόλοιποι της λέσχης, να κατέβετε Κρήτη. Εδώ έχουμε ηλιόλουστη μέρα.

lonis έγραψε:
Όταν δεν αναφέρουμε τις κατακόρυφες ευθείες που ορίζουν συγκεκριμένο χωρίο ανάμεσα στη γραφική παράσταση συνάρτησης και τον άξονα x'x, τότε ...

Βλέποντας την απάντηση του Λεωνίδα, αντιλαμβάνομαι ότι παρανόησα την ερώτηση, η οποία τελικά είναι ασαφής.
Συμφωνώ με την αντιμετώπιση που προτείνουν οι υπόλοιποι παραπάνω.

Φιλικά,

Μιχάλης.

hsiodos · #9

Τηλέγραφος Κώστας έγραψε:Aν και πρεπει να ειναι πιο σαφης η ερωτηση

Στην πρωτη περιπτωση που αναφερει ο Γεωργος

To εμβαδόν του χωρίου που περικλέιεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, με
f (x) = , τον άξονα x΄x και την ευθείας x = 2 , είναι
Απαντηση
Εχουμε εμβαδον μεταξυ τριων γραμμων αρα σωστο ειναι το
Clipboard01.gif
E= $\int_{1}^{2}{\left|f(x) \right|dx}$

To εμβαδόν του χωρίου που περικλέιεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, με
f (x) = , τον άξονα x΄x και την ευθείας x = -2,x = 2
Απαντηση
Στην δευτερη που αναφερει ο Κωστας ειναι μεταξυ της ζωνης των ευθειων χ=-2 και χ=2
Clipboard02.gif
οποτε E= $\int_{-2}^{2}{\left|f(x) \right|dx}$

Διαβάζω με προσοχή τις απαντήσεις. Δεν έχω χρόνο τώρα για να σχολιάσω αναλυτικά αλλά
αν δεχθούμε σωστή την άποψη του Λεωνίδα(lonis) μπορούμε να δεχθούμε επίσης σωστή την άποψη του Κώστα για το δεύτερο σχήμα;
Γιώργος

lonis · #10

Με προβλημάτισαν οι διαφορετικές προσεγγίσεις του Κώστα και του Νίκου. Αν δύο μαθηματικοί αντιλαμβάνονται διαφορετικά ένα ερώτημα, μάλλον το ερώτημα δε διατυπώθηκε με σαφήνεια. Επομένως, συμφωνώ ότι οι διατυπώσεις μας πρέπει να είναι ακριβείς (συμφωνούσα έτσι κι αλλιώς!) και, αφού η επικαιρότητα επιτάσσει και μια τέτοια κριτική: δεν πρέπει να τίθενται παρόμοια ερωτήματα στις εξετάσεις.
Μιχάλη: Μου φαίνεται ότι όλοι πρέπει να σκεφτούμε σοβαρά να κατέβουμε Κρήτη! (Παρεπιμπτόντως, συγχαρητήρια για το φινάλε του Καγκουρό. Εντυπωσιακή σε όγκο και ποιότητα η δουλειά σας!)

Λεωνίδας

#11

Λεωνίδα νομίζω ότι η διαφορετικη ερμηνεία οφείλεται, όπως και προανέφερα, στο γεγονός ότι η φράση
"περικλείεται από...(ακολουθεί η απαρίθμηση των γραμμών που μετέχουν στο σχηματισμό του χωρίου μας)"
δεν προσδιορίζει μονοσημάτως το χωρίο. Χρειάζονται και άλλα στοιχεία.
'Αλλο ένα παράδειγμα:
Ποιο από τα δύο χωρία είναι εκείνο που
περικλείεται από τις $x=\frac{1}{2}$ , , $y=x^{2}-1}$ ;

: area.png (11.43 KiB) Προβλήθηκε 3047 φορές

Μαυρογιάννης

lonis · #12

Νίκο, έχεις δίκιο. Το παράδειγμα που έδωσες ήταν διαφωτιστικότατο. Στα ίδια σχήματα που έχεις αναρτήσει, το χωρίο που περικλείεται από τις $x=0, y=0, y=x^{2}-1$ είναι το "αριστερά" του άξονα y'y ή το "δεξιά" του; Το ρωτάω ως ένα επιπλέον παράδειγμα ασάφειας - άσχετο που τα δύο εμβαδά είναι ίσα. Δε συμβαίνει το ίδιο αν πάρουμε μη άρτια συνάρτηση: Μετατοπίζοντας την $y=x^{2}-1$ μισή μονάδα δεξιά, δημιουργούμε άλλο αμφιλεγόμενο χωρίο: αυτό που περικλείεται από τις $x=0, y=0, y=(x-\frac{1}{2})^{2}-1$ . Είναι το "αριστερά" του άξονα y'y ή το "δεξιά" του; Εδώ τα δύο εμβαδά δεν είναι ίσα.
Είναι θετικότατο ότι άνοιξε αυτή η κουβέντα. Προσωπικά, θα κάνω το συνήγορο του διαβόλου στον εαυτό μου, όταν ζητάω υπολογισμό εμβαδού από τα παιδιά. Ελπίζω να μη γίνω διχασμένη προσωπικότητα...

Λεωνίδας

hsiodos · #13

Ας συμφωνήσουμε λοιπόν ως προς την ασάφεια.'Ομως αφού για το χωρίο που "περικλείεται" από την y=x^2-1

, y=0 , x=-2 υπάρχει θέμα , δεν καταλαβαίνω γιατί για το χωρίο που "περικλείεται" από την y=x^2-1

, y=0 , x=-2 και χ=-2 δεν υπάρχει αντίστοιχο θέμα αν πούμε ότι E= $\int_{-2}^{2}{\left|f(x) \right|dx}$
(με την έννοια ότι υπάρχει "κομμάτι" που δεν μετέχουν οι χ=2 και χ=-2).

Γιώργος

lonis · #14

Γιώργο, προφανώς εννοείς x=-2 και x=2.
Δεν καταλαβαίνω την περίπτωση που αναφέρεις. Με τι θα μπορούσε να υπάρξει σύγχυση στο χωρίο αυτό; Δεν συμφωνούμε ότι το εμβαδό υπολογίζεται από τον τύπο $E=\int_{-2}^{2}{\left|f(x) \right|dx}$ ; Αναγνωρίσαμε την ασάφεια στο προηγούμενο πρόβλημα που έθεσες - κι εγώ ο ίδιος είδα ότι ο τρόπος που "διάβασα" το χωρίο δεν είναι κι ο μοναδικός! Αυτό δε σημαίνει ότι το μαθηματικό μας υπόβαθρο είναι σαθρό. Αν θέλαμε να υπολογίσουμε εμβαδό σχεδιασμένου χωρίου, όλοι μας θα χρησιμοποιούσαμε το σωστό ολοκλήρωμα. Η κουβέντα έγινε για την ορθή διατύπωση των ερωτημάτων ώστε να λέμε αυτό που εννοούμε και να εννοούμε αυτό που λέμε κι εδώ νομίζω ότι συμφωνούμε ότι χρειάζεται προσοχή. Ευχαριστώ που ξεκίνησες το θέμα, δεν ήμουν στο παλιό mathematica και δεν είχα παρακολουθήσει τη συζήτηση.

Λεωνίδας.

k-ser · #15

hsiodos έγραψε:Ας συμφωνήσουμε λοιπόν ως προς την ασάφεια.'Ομως αφού για το χωρίο που "περικλείεται" από την , y=0 , x=-2 υπάρχει θέμα , δεν καταλαβαίνω γιατί για το χωρίο που "περικλείεται" από την , y=0 , x=-2 και χ=-2 δεν υπάρχει αντίστοιχο θέμα αν πούμε ότι E= $\int_{-2}^{2}{\left|f(x) \right|dx}$
(με την έννοια ότι υπάρχει "κομμάτι" που δεν μετέχουν οι χ=2 και χ=-2).

Γιώργος

Γιώργο,
ο Λεωνίδας έχει δίκιο.
Το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C_f

τον χ΄χ και τις ευθείες x=a,x=b

,

, εφόσον η

είναι συνεχής στο [a,b]

, δίνεται από τον τύπο: $\displaystyle \int_{a}^{b}{\left|f(x) \right|dx}$ .
Κάθε διαφορετική περίπτωση, όπως έγραψα και στο πρώτο μου μήνυμα, θέλει προσοχή στην διατύπωσή της, για να μην υπάρξουν διαφορετικές ερμηνείες.

#16

Τώρα είδα το θέμα που βάλατε και συμμερίζομαι απόλυτα τους προβληματισμούς σας. Μου τηλεφώνησαν μάλιστα και αρκετοί συνάδελφοι για να κουβεντιάσουμε το ζήτημα αυτό.
α) Για την αποφυγή ασαφειών, στις εξετάσεις , πρέπει να δοθεί χωρίο που να είναι αναγκαστικά συνεκτικό(να μην μένουν δηλαδή περιθώρια για παρερμηνείες) ή το χωρίο να δοθεί σημειωμένο σε σχήμα, ώστε να είναι πλήρως κατανοητός ο προσδιορισμός του.

β) Η λέξη '' περικλείω '' πρέπει να μας οδηγεί σε συνεκτικό χωρίο.Αυτό επιτάσσει η λεξικολογική ερμηνεία του '' περικλείω = κλείω + περί '' Σε αυτό έχω καταλήξει μετά από αρκετή σκέψη, αν και στη μέχρι τώρα αντιμετώπιση των ασκήσεων σε πανεπιστημιακά και σχολικά βιβλία, ελληνική ή ξένα , παίρουμε το μέγιστο δυνατό χωρίο που ορίζουν οι γραμμές.

γ) Για να πάρουμε όλο το οριζόμενο χωρίο θεωρώ πως ο πιο δόκιμος όρος είναι το '' ορίζεται'' . Έτσι , στο αρχικό ερώτημα , αν ζητηθεί το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τις γραμμές ...., πρέπει να πάρουμε το εμβαδόν όλου του χωρίου(το μη συνεκτικό) , με άκρα δηλαδή τα x=-1, x=2

.
Αν ζητείται το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις τρεις γραμμές, τότε αρκεί να πάρουμε μόνο το καμυλόγραμμο τρίγωνο και αυτό φαίνεται ότι είναι το πιο λογικό. Μέχρι όμως να δοθεί σε σχολικό βιβλίο αυτή η επίσημη διάκριση του ''περικλείω '' και '' ορίζω '' , δεν μπορεί να δοθεί μονοσήμαντη απάντηση. Ως εκ τούτου στις εξετάσεις πρέπει να ακολουθηθεί η πρακτική που ανέφερα στο α).
Αν ωστόσο τεθεί τέτοιο ερώτημα στις εξετάσεις, τότε πρέπει να ληφθούν και οι δύο απαντήσεις σωστές και να μην την ..πληρώσουν πάλι οι ορθώς σκεφτόμενοι μαθητές !
Διότι , να το πούμε και αυτό , τυχόν ασάφειες των ερωτημάτων ζημειώνουν ΠΑΝΤΑ τον διαβασμένο και .. ''ψαγμένο '' μαθητή.

Μπάμπης

Απορία σε εμβαδόν χωρίου

Απορία σε εμβαδόν χωρίου

Re: Απορία σε εμβαδόν χωρίου

Re: Απορία σε εμβαδόν χωρίου

Re: Απορία σε εμβαδόν χωρίου

Re: Απορία σε εμβαδόν χωρίου

Re: Απορία σε εμβαδόν χωρίου

Re: Απορία σε εμβαδόν χωρίου

Re: Απορία σε εμβαδόν χωρίου

Re: Απορία σε εμβαδόν χωρίου

Re: Απορία σε εμβαδόν χωρίου

Re: Απορία σε εμβαδόν χωρίου

Re: Απορία σε εμβαδόν χωρίου

Re: Απορία σε εμβαδόν χωρίου

Re: Απορία σε εμβαδόν χωρίου

Re: Απορία σε εμβαδόν χωρίου

Re: Απορία σε εμβαδόν χωρίου

Μέλη σε σύνδεση