Βρείτε το Εμβαδό

PanosG · #1

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle f(x)=\int_{0}^x\frac{t^4}{t^6+1}$
Να βρείτε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται απο την C_f

τον xx' , και τις ευθείες x = 0 και x = 1

Απάντηση:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Ιστοσελίδα · #2

Μια προσέγγιση
Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = \int_{\,0}^{\,x} {\frac{{{t^4}}}{{{t^6} + 1}}dt} }$
Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται απο την $\displaystyle{{C_f}}$ τον x'x

, και τις ευθείες x = 0

και

Λύση
Ισχύει ότι $\displaystyle{\frac{{{t^4}}}{{{t^6} + 1}} & & \ge 0}$ έτσι για κάθε x > 0

θα ισχύει ότι $\displaystyle{f(x) = \int_{\,0}^{\,x} {\frac{{{t^4}}}{{{t^6} + 1}}dt} > 0}$
Επομένως $\displaystyle{E = \int_{\,0}^{\,1} {\left( {\int_{\,0}^{\,x} {\frac{{{t^4}}}{{{t^6} + 1}}dt} } \right)} dx = \int_{\,0}^{\,1} {\left( {x'\int_{\,0}^{\,x} {\frac{{{t^4}}}{{{t^6} + 1}}dt} } \right)} dx = \left[ {x\int_{\,0}^{\,x} {\frac{{{t^4}}}{{{t^6} + 1}}dt} } \right]_0^1 - \int_{\,0}^{\,1} {\left( {x{{\left( {\int_{\,0}^{\,x} {\frac{{{t^4}}}{{{t^6} + 1}}dt} } \right)}^\prime }} \right)} dx}$
$\displaystyle{ = \int_{\,0}^1 {\frac{{{t^4}}}{{{t^6} + 1}}dt} - \int_{\,0}^{\,1} {\frac{{{x^5}}}{{{x^6} + 1}}} dx = f\left( 1 \right) - \frac{1}{6}\int_{\,0}^{\,1} {\frac{{{{\left( {{x^6} + 1} \right)}^\prime }}}{{{x^6} + 1}}} dx = }$
$\displaystyle{ = f\left( 1 \right) - \frac{1}{6}\left[ {\ln \left( {{x^6} + 1} \right)} \right]_0^1 = f\left( 1 \right) - \frac{1}{6}\ln \left( 2 \right) = \ln {e^{f\left( 1 \right)}} - \ln \sqrt[6]{2} = \ln \frac{{{e^{f\left( 1 \right)}}}}{{\sqrt[6]{2}}}}$
Μίλτος Π.

#3

Επειδή η συνάρτηση λαμβάνει μη αρνητικές τιμές, το ζητούμενο εμβαδόν E ισούται με

$\displaystyle{E=\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{x}\frac{t^4}{t^6+1}dt \right)dx}$ , οπότε με ολοκλήρωση κατά παράγοντες έχουμε

$\displaystyle{E=\int_{0}^{1}(x)^{\prime}\left(\int_{0}^{x}\frac{t^4}{t^6+1}dt \right)dx=\left[x\int_{0}^{x}\frac{t^4}{t^6+1}dt \right]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}x\frac{x^4}{x^6+1}dx=f(1)-\int_{0}^{1}\frac{x^5}{x^6+1}dx=f(1)-\frac{1}{6}[\ln (x^6+1)]_{0}^{1}=f(1)-\frac{1}{6}\ln 2.}$

Βρείτε το Εμβαδό

Βρείτε το Εμβαδό

Re: Βρείτε το Εμβαδό

Re: Βρείτε το Εμβαδό

Μέλη σε σύνδεση