Ανισότητα σε Ολοκλήρωμα

Γ.ΑΣΗΜΑΚΟΠΟΥΛΟΣ · #1

Έστω δύο συναρτήσεις f kai g που είναι συνεχείς σε ένα διάστημα [k,l] και είναι και οι δύο γνησίως αύξουσες. Να δειχτεί η παρακάτω ανισότητα:
$\frac{\int_{k}^{l}{f(x)dx.\int_{k}^l{g(x)dx}{}}}{{k-l}}<\int_{k}^{l}{f(x)g(x)dx}$

#2

Πρόκειται για την ανισότητα Chebyshev για ολοκληρώματα.
Υπάρχει μια απλή λύση με χρήση διπλού ολοκληρώματος, αλλά νομίζω ότι έχω δει σχολική λύση κάπου στο... αχανές

Υ.Γ. Η ανισότητα χρειάζεται $\displaystyle{\leq}$ αντί για $\displaystyle{<}$ .

#3

Έχει συζητηθεί και εδώ.

mathxl · #4

Αν τις κάνουμε και θετικές έχουμε και αυτό

$\displaystyle{\left. {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( k \right) \le f\left( x \right) \le f\left( l \right)} \\ {g\left( k \right) \le g\left( x \right) \le g\left( l \right)} \\ \end{array}} \right\}\left. {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {l - k} \right)f\left( k \right) < \int_k^l {f(x)dx} < \left( {l - k} \right)f\left( l \right) \Rightarrow f\left( k \right) < \frac{{\int_k^l {f(x)dx} }}{{l - k}} < f\left( l \right)} \\ { \Rightarrow \left( {l - k} \right)g\left( k \right) < \int_k^l {g(x)dx} < \left( {l - k} \right)g\left( l \right) \Rightarrow g\left( k \right) < \frac{{\int_k^l {g(x)dx} }}{{l - k}} < g\left( l \right)} \\ {f\left( k \right)g\left( k \right) \le f\left( x \right)g\left( x \right) \le f\left( l \right)g\left( l \right)} \\ \end{array}} \right\} \Rightarrow }$

$\displaystyle{\left. { \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}} {f\left( k \right)g\left( k \right) < \frac{{\int_k^l {f(x)dx} }}{{l - k}} \cdot \frac{{\int_k^l {g(x)dx} }}{{l - k}} < g\left( l \right)f\left( l \right)} \\ {} \\ {\left( {l - k} \right)f\left( k \right)g\left( k \right) < \int_k^l {f(x)g(x)dx} < \left( {l - k} \right)f\left( l \right)g\left( l \right)} \\ \end{array}} \right\} \Rightarrow }$

$\displaystyle{\left. { \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}} {f\left( k \right)g\left( k \right) < \frac{{\int_k^l {f(x)dx} }}{{l - k}} \cdot \frac{{\int_k^l {g(x)dx} }}{{l - k}} < g\left( l \right)f\left( l \right)} \\ {} \\ {f\left( k \right)g\left( k \right) < - \frac{{\int_k^l {f(x)g(x)dx} }}{{k - l}} < f\left( l \right)g\left( l \right)} \\ \end{array}} \right\} \Rightarrow }$

$\displaystyle{2f\left( k \right)g\left( k \right) < \frac{{\int_k^l {f(x)dx} }}{{l - k}} \cdot \frac{{\int_k^l {g(x)dx} }}{{l - k}} - \frac{{\int_k^l {f(x)g(x)dx} }}{{k - l}} < 2g\left( l \right)f\left( l \right) \Rightarrow }$

$\displaystyle{\frac{{\int_k^l {f(x)dx} \int_k^l {g(x)dx} }}{{{{\left( {k - l} \right)}^2}}} - \frac{{\int_k^l {f(x)g(x)dx} }}{{k - l}} > 2f\left( k \right)g\left( k \right) > 0 \Rightarrow }$

$\displaystyle{\frac{{\int_k^l {f(x)dx} \int_k^l {g(x)dx} }}{{k - l}} < \int_k^l {f(x)g(x)dx} }$

Ανισότητα σε Ολοκλήρωμα

Ανισότητα σε Ολοκλήρωμα

Re: Ανισότητα σε Ολοκλήρωμα

Re: Ανισότητα σε Ολοκλήρωμα

Re: Ανισότητα σε Ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση