Ισοδυναμία

#1

Έστω $\displaystyle{ \alpha ,\beta \in \left( {0, + \infty } \right) }$ Να δειχθεί η ισοδυναμία : $\displaystyle{ \alpha \cdot \beta = 1 \Leftrightarrow \int\limits_\alpha ^\beta {\frac{{\ln t}} {{t^2 + 1}}dt} = 0 }$

Στάθης Κούτρας

#2

Να κάνω μία προσπάθεια για το ευθύ.
Αν αβ=1 τότε το ολοκλήρωμα ισούται με 0
$\alpha \cdot \beta =1\Rightarrow \alpha =\frac{1}{\beta}$ και το ολοκλήρωμα γίνεται $\int_{\frac{1}{\beta}}^{\beta}{\frac{lnt}{t^2+1}dt=0}$
Αν θέσουμε όπου β το x και θεωρήσουμε την συνάρτηση $f(x) = \int_{\frac{1}{x}}^{x}{\frac{lnt}{t^2+1}dt}= \int_{1}^{x}{\frac{lnt}{t^2+1}dt}- \int_{1}^{\frac{1}{x}}{\frac{lnt}{t^2+1}dt}$ ορισμένη στο $(0,+\infty)$
H f(x) είναι παραγωγίσιμη στο $(0,+\infty)$ με $f'(x)= \frac{lnx}{x^2+1}-\frac{ln(\frac{1}{x})}{\frac{1}{x^2}+1}\cdot (-\frac{1}{x^2})= 0$
Άρα f(x) = c και αφού f(1) = 0 έχουμε ότι f(x) = 0.

Χρήστος

ΚΟΥΤΣΟΥΚΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ · #3

xr.tsif έγραψε:Να κάνω μία προσπάθεια για το ευθύ.
Αν αβ=1 τότε το ολοκλήρωμα ισούται με 0
$\alpha \cdot \beta =1\Rightarrow \alpha =\frac{1}{\beta}$ και το ολοκλήρωμα γίνεται $\int_{\frac{1}{\beta}}^{\beta}{\frac{lnt}{t^2+1}dt=0}$
Αν θέσουμε όπου β το x και θεωρήσουμε την συνάρτηση $f(x) = \int_{\frac{1}{x}}^{x}{\frac{lnt}{t^2+1}dt}= \int_{1}^{x}{\frac{lnt}{t^2+1}dt}- \int_{1}^{\frac{1}{x}}{\frac{lnt}{t^2+1}dt}$ ορισμένη στο $(0,+\infty)$
H f(x) είναι παραγωγίσιμη στο $(0,+\infty)$ με $f'(x)= \frac{lnx}{x^2+1}-\frac{ln(\frac{1}{x})}{\frac{1}{x^2}+1}\cdot (-\frac{1}{x^2})= 0$
Άρα f(x) = c και αφού f(1) = 0 έχουμε ότι f(x) = 0.

Χρήστος

Για το ολοκλήρωμα $\int_{\frac{1}{\beta }}^\beta {\frac{{\ln t}}{{1 + {t^2}}}dt}$ μπορούμε να το υπολογίσουμε και με αλλαγή μεταβλητης.
Συγκεκριμένα θέτουμε t = 1/u $\Rightarrow dt = - \frac{1}{{{u^2}}}du$ , για t= β $\Rightarrow$ u = 1/β kai για t=1/β $\Rightarrow$ u = β
Οπότε $I = \int_{\frac{1}{\beta }}^\beta {\frac{{\ln t}}{{1 + {t^2}}}dt} = - \int_\beta ^{\frac{1}{\beta }} {\frac{{\ln \frac{1}{u}}}{{1 + {{\left( {\frac{1}{u}} \right)}^2}}} \cdot \frac{1}{{{u^2}}}du = } \int_{\frac{1}{\beta }}^\beta {\frac{{ - \ln u}}{{1 + {u^2}}}du = } - I \Leftrightarrow I = 0$

#4

Για το αντίστροφο $\displaystyle{\int_3^3\frac {lnt}{1+t^2}dt=0}$ , ενώ $3\cdot 3 \neq 1$

Έχω κάπου λάθος;

#5

Μπορούμε, όμως να συμμαζέψουμε τα πράγματα αν υποθέσουμε ότι $a \neq b$

Τότε αν $a,b \in (1,+\infty)$ θα έχουμε $\frac {lnt}{t^2+1}>0$ , άρα

$\displaystyle{\int_a^b \frac {lnt}{1+t^2}dt=0 \Rightarrow a=b}$ , άτοπο.

Αν $a,b \in (0,1)$ θα έχουμε $\frac {lnt}{t^2+1}<0$ , άρα

$\displaystyle{\int_a^b \frac {lnt}{1+t^2}dt=0 \Rightarrow a=b}$ , επίσης άτοπο.

Άρα θα πρέπει $a \in (0,1) \wedge b \in (1,+\infty) \vee b \in (0,1) \wedge a \in (1,+\infty)$ . Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι ισχύει το πρώτο, άρα

$\displaystyle{\int_a^b \frac {lnt}{t^2+1}dt=0 \Rightarrow \int_a^1\frac {lnt}{t^2+1}dt+\int_1^b\frac {lnt}{t^2+1}dt=0}$

$\displaystyle{\Rightarrow \int_a^1 \frac {lnt}{t^2+1}dt=-\int_1^b \frac {lnt}{t^2+1}dt}$ (1)

Αλλά κάνοντας στο ολοκλήρωμα του δευτέρου μέλους αλλαγή μεταβλητής $\displaystyle{\frac {1}{t}=u}$ έχουμε από την (1)

$\displaystyle{\Rightarrow \int_a^1 \frac {lnt}{t^2+1}dt=-\int_1^{\frac {1}{b}} \frac {lnu}{u^2+1}du}$

$\displaystyle{\Rightarrow \int_a^1 \frac {lnt}{t^2+1}dt+\int_1^{\frac {1}{b}} \frac {lnt}{t^2+1}dt}=0$

$\displaystyle{\Rightarrow \int_a^{\frac {1}{b}} \frac {lnt}{t^2+1}dt=0$ (2)

Και επειδή $\displaystyle{a, \frac {1}{b} \in (0,1)}$

(2) $\displaystyle{\Rightarrow a=\frac {1}{b} \Rightarrow ab=1}$

#6

Απλά επειδή το είχα τσεκάρει, μπορούμε δουλεύοντας με τη συνάρτηση $\displaystyle{ g(x) = \int\limits_a^x {\frac{{\ln t}}{{t^2 + 1}}dt} ,x \in \left[ {a,b} \right] }$ και Rolle για να είμαστε εντός ύλης να δείξουμε πως $\displaystyle{ g'(\xi ) = 0 \Rightarrow \frac{{\ln \xi }}{{\xi ^2 + 1}} = 0 \Rightarrow \ln \xi = 0 \Rightarrow \xi = 1,\xi \in \left( {a,b} \right) }$
Τούτο εστί:
$\displaystyle{ a < 1 < b }$
και στη συνέχεια να κάνουμε αυτά που λέει ο Σπύρος...
Και φυσικά αρχικά να υποθέσουμε $\displaystyle{ a < b }$

#7

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:Έστω $\displaystyle{ \alpha ,\beta \in \left( {0, + \infty } \right) }$ Να δειχθεί η ισοδυναμία : $\displaystyle{ \alpha \cdot \beta = 1 \Leftrightarrow \int\limits_\alpha ^\beta {\frac{{\ln t}} {{t^2 + 1}}dt} = 0 }$

Λίγο αλλιώς, αλλά που δίχνει λίγο πιο καθαρά "τι τρέχει".

Βάζοντας t=e^x

εύκολα βλέπουμε ότι το ερώτημα γίνεται

Να δειχθεί η ισοδυναμία : $\displaystyle{ c+d = 0 \Leftrightarrow \int\limits_c ^d \frac{x} {e^x + e^{-x}}dx} = 0 }$

(θεωρούμε, όπως τονίστηκε παραπάνω, ότι $c \ne d$ οπότε χωρίς βλάβη c<d

).

Υπόψη ότι αν $\int_c^d \frac{x}{e^x + e^{-x}}dx=0$ τότε τα c,d

είναι ετερόσημα. Π.χ. αν $0 \le c < d$ τότε το ολοκλήρωμα δεν μπορεί να είναι 0 καθώς το "μέσα" είναι >0. Άρα έχουμε $c\le 0 \le d$ .

Επειδή η $\frac{x}{e^x + e^{-x}}$ είναι περιττή έπεται ότι $\int\limits_c ^{-c} \frac{x}{e^x + e^{-x}}dx} = 0$ (*)

Έχουμε τότε τις ισοδυναμίες

$\int\limits_c ^d \frac{x}{e^x + e^{-x}}dx} = 0$
$\Leftrightarrow \int\limits_{c} ^{-c} \frac{x}{e^x + e^{-x}}dx} + \int\limits_{-c} ^d \frac{x}{e^x + e^{-x}}dx} = 0$
$\Leftrightarrow \int\limits_{-c} ^d \frac{x}{e^x + e^{-x}}dx} = 0$ (λόγω της (*))
$\Leftrightarrow d=-c$ (διότι το "μέσα" είναι >0)

$\Leftrightarrow c +d=0$ .

Φιλικά,

Μιχάλης

Ισοδυναμία

Ισοδυναμία

Re: Ισοδυναμία

Re: Ισοδυναμία

Re: Ισοδυναμία

Re: Ισοδυναμία

Re: Ισοδυναμία

Re: Ισοδυναμία

Μέλη σε σύνδεση