Το τέταρτο Θέμα

#1

1. Έστω

δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\mathbb R$ με συνεχή δεύτερη παράγωγο και με σύνολο τιμών το διάστημα [a,b]

όπου

. Να αποδείξετε ότι:

(α) Υπάρχουν δύο τουλάχιστον διαφορετικά σημεία $\kappa,\lambda$ ώστε να ισχύει ότι:

$f {'}(\kappa)=f{'}(\lambda)=0$

(β) Η εξίσωση $f(x) +f{'}(x)\cdot f{''}(x)=0$ έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα

(γ) Η εξίσωση

$f{'}{'}(x)+[f{'}(x)]^{2}=0$

έχει επίσης μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα.

2. Δίνεται η συνεχής και γνησίως αύξουσα στο $(0,+\infty )$ συνάρτηση

με

$\int_{3}^{4}{f(x)dx}=-1$ και $\displaystyle{\int_{4}^{5}{f(x)dx}=3}$

Θεωρούμε την συνάρτηση

με

$g(x)=\int_{x+1}^{x+2}{f(t)dt}$ , x>0

(α) Να μελετηθεί η

ως προς την μονοτονία

(β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi\in(2,3)$ ώστε να ισχύει ότι: $f(\xi+2)-f(\xi+1)=4$
(γ) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση $\int_{x^{2}+2}^{x^{2}+3}{f(t)dt}=\int_{x^{2}+4}^{x^{2}+3}{f(t)dt}+2$ έχει μία ακριβώς πραγματική ρίζα .

3. (α) Δίνεται η συνεχής συνάρτηση ${f:[0,1]\rightarrow \mathbb R}$ με ${\int_{0}^{1}{f(t)dt}=0}$ .

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi\in (0,1)$ ώστε να ισχύει:

$\int_{0}^{\xi }{f(x)dx}=f(\xi )$

(β) Θεωρούμε την παραγωγίσιμη στο $\mathbb R$ συνάρτηση

για την οποία ισχύει ότι:

2g(2x)-g(x)=2x

για κάθε $x\in\mathbb R$ καθώς και την συνάρτηση

$G(x)=x\int_{1}^{2}{g(xt)dt}-x^{2}+3$ για κάθε $x\in\mathbb R$ .

(ι) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν $x_{1}\in(0,1)$ και $x_{2}\in(1,2) : g{'}(x_{1})+2g{'}(x_{2})=2$

(ιι) Να βρεθεί ο τύπος της

(iii) Να υπολογίσετε το $I=\int_{1}^{4}{g(x)dx}$

Ιωάννου Δημήτρης

#2

1(a) $a=\min f$ , $b=\max f$ στο από Fermat έπεται το ζητούμενο
1(β) Bolzano στην f+f{'}f{''}

στο $[\kappa,\lambda]$ $(a=f(\kappa),b=f(\lambda))$
1(γ) θα δείξουμε ότι $f{''}(\kappa)>0,f{''}(\lambda)<0$ πάλι με ΘΒ στο $[\kappa,\lambda]$ στην $f{''}+(f{'})^2$
αν $f{''}(\kappa)<0$ λόγω συνέχειας κοντά στο $\kappa$ f{''}(x)<0

αρα η

κατω από την οριζόντια εφαπτομένη της στο $\kappa$ δηλαδή $f(x)<a = \min$ άτοπο
{*} δεν μελετήθηκαν οι περιπτώσεις των "

" για την

αλλα νομίζω ότι καλύτερα να δοθούν

2(a) $\displaystyle{g'(x)=f(x+2)-f(x+1)>0}$ αφού

αύξουσα
2(β) Rolle στην g(x)-4x

στο

3(γ) $\displaystyle{g(x^2)+g(x^2+1)-2}$ είναι αύξουσα και έχει προφανή ρίζα το $\displaystyle{\sqrt{2}}$

3(α) Rolle στο [0,1]

στην $\displaystyle{e^{-x}\int_{0}^{x}{f}}$
3(β)ιμε 2 ΘΜΤ στην

στο

και

,

3(βιι) $xt=u\ldots G'=0,G(0)=3$
3(βιιι)Από το ιι) για x=1

,

και πρόσθεση κατα μέλη . Τελικά I=5

Το τέταρτο Θέμα

Το τέταρτο Θέμα

Re: Το τέταρτο Θέμα

Μέλη σε σύνδεση