Ανισότητα (Chebyshev) (Προς Αποδ.)

#1

Έστω

και συναρτήσεις $f,g:[a,b]\to\mathbb{R}$ συνεχείς (ισχύει και για ολοκληρώσιμες) στο [a,b]

.
Ας δειχθεί ότι :
1) $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)g(x)\,dx\geq\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\,dx\cdot\int_{a}^{b}g(x)\,dx$ , αν είτε και οι δυο συναρτήσεις είναι αύξουσες ή και οι δυο είναι φθίνουσες στο [a,b]

.
2) $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)g(x)\,dx\leq\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\,dx\cdot\int_{a}^{b}g(x)\,dx$ , αν η μια από τις δυο συναρτήσεις είναι αύξουσα και η άλλη είναι φθίνουσα στο [a,b]

.

(Κάποια γεωμετρική ερμηνεία..; )

#2

Μια κάποια προσέγγιση ..

#3

Μια διαφορετική λύση:

Αν οι f και g είναι χαρακτηριστικές συναρτήσεις συνόλων της μορφής [a',b], τότε η (1) προφανώς ισχύει. Αλλά κάθε άυξουσα συνάρτηση προσεγγίζεται από γραμμικό συνδυασμό τέτοιων συναρτήσεων με θετικούς συντελεστές ... άρα η ανισότητα ισχύει.

Αν και έχω αφήσει αρκετή (αλλά κάπως άχαρη) δουλεία πίσω, ελπίζω να σας έπεισα.

#4

Χμ ... Δημήτρη .. μήπως θα μπορούσες να γίνεις αναλυτικότερος (αν δεν σου κάνει κόπο).

#5

Ναι σίγουρα κανένα πρόβλημα. Η διαδικασία είναι γνωστή. Εγώ την έχω ακούσει με το όνομα "standard machine".

Έστω Α το σύνολο όλων των χαρακτηριστικών συναρτήσεων συνόλων της μορφής $[a^{\prime},b]$ , όπου $a \leqslant a^{\prime} \leqslant b$ .

Αν $f,g \in A$ , τότε η (1) ισχύει.

Αν $f = \sum_{i=1}^n a_i f_i$ και $g = \sum_{j=1}^m b_j g_j$ , όπου $f_i,g_j \in A$ και $a_i,b_j \geq 0$ τότε η (1) ισχύει. (Το σπάμε σε

ανισότητες.)

Αν $f = \sum_{i=1}^n a_i f_i$ και $g \geqslant \sum_{j=1}^m b_j g_j$ , όπου $f_i,g_j \in A$ και $a_i,b_j \geq 0$ τότε

$\displaystyle \int_a^b fg \, dx \geqslant \frac{1}{b-a} \int_a^b f \, dx \int_a^b \sum_{j=1}^m b_j g_j \, dx$ .

Αν

θετική και αύξουσα, υπάρχουν $g_1,g_2,\ldots \in A$ και $b_1,b_2,\ldots \geqslant 0$ ώστε $\sum_{j=1}^m b_j g_j \nearrow g$ και από θεώρημα μονότονης σύγκλισης η (1) ισχύει.

Αν $f \geqslant \sum_{i=1}^n a_i f_i$ όπου $f_i \in A$ και $a_i \geq 0$ και

θετική αύξουσα τότε

$\displaystyle \int_a^b fg \, dx \geqslant \frac{1}{b-a} \int_a^b \sum_{i=1}^n a_i f_i \, dx \int_a^b g \, dx$ .

Άλλη μια εφαρμογή μονότονης σύγκλισης μας δίνει ότι η (1) ισχύει αν f,g

θετικές και αύξουσες. Ομοίως οι (1) και (2) ισχύουν για όλους τους συνδυασμούς αύξουσα/φθίνουσα (για θετικές συναρτήσεις).

Τέλος αν f,g

αύξουσες γράφουμε f = f^+ - f^-, g = g^+ - g^-

όπου

θετικές και αύξουσες, και f^-,g^-

θετικές και φθίνουσες. Άρα πάλι η (1) ισχύει.

#6

Μάλλον πρέπει να διαβάσω για τις χαρακτηριστικές συναρτήσεις συνόλων, μου είναι άγνωστες. Εκεί είναι το πρόβλημά μου. Σ' ευχαριστώ πολύ.

#7

Persona_Non_Grata έγραψε:Μάλλον πρέπει να διαβάσω για τις χαρακτηριστικές συναρτήσεις συνόλων, μου είναι άγνωστες. Εκεί είναι το πρόβλημά μου. Σ' ευχαριστώ πολύ.

Ωχ, συγνώμη. Αν Α σύνολο, τότε η χαρακτηριστική του συνάρτηση $\chi_A$ ορίζεται ως $\chi_A(x) = \begin{cases} 1 & x \in A \\ 0 & x \notin A \end{cases}$

Ελπίζω να βγάζει νόημα τώρα.

#8

Καλημέρα σας!
Και μια άλλη προσέγγιση:

Υποθέτουμε ότι και οι δύο συναρτήσεις είναι μονότονες στο [a,b].

Τότε:

(*) $\displaystyle\big(f(x)-f(y))(g(x)-g(y)\big)\geq0$ για κάθε $x,y \in [a,b].$

Οπότε, $\displaystyle\int_{a}^{b}\int_{a}^{b}\big(f(x)-f(y))(g(x)-g(y)\big)\,dx\,dy\geq0.$

Δηλαδή,

$\displaystyle\int_{a}^{b}\Big(\int_{a}^{b}\big(f(x)g(x)-f(x)g(y)\big)\,dx\Big)\,dy+\int_{a}^{b}\Big(\int_{a}^{b}\big(f(y)g(y)-f(y)g(x)\big)\,dx\Big)\,dy\geq0$

ή $(b-a)\int_{a}^{b}f(x)g(x)\,dx-\int_{a}^{b}f(x)\,dx\int_{a}^{b}g(x)\,dx+(b-a)\int_{a}^{b}f(x)g(x)\,dx-\int_{a}^{b}f(x)\,dx\int_{a}^{b}g(x)\,dx\geq0.$

Οπότε, $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)g(x)\,dx\geq\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\,dx\cdot\int_{a}^{b}g(x)\,dx$ .

Σχόλια:

(1) Αν μια από τις δύο συναρτήσεις είναι φθίνουσα και η άλλη αύξουσα τότε η (*) γίνεται

$\displaystyle\big(f(x)-f(y))(g(x)-g(y)\big)\leq0$ για κάθε $x,y \in [a,b].$

(2) Αν γράψουμε την ανισότητα έτσι:

$\frac{1}{b-a}\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)g(x)\,dx\geq\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\,dx\cdot\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}g(x)\,dx$ , μπορούμε να έχουμε μια μικρή γεωμετρική γεύση!

Νικόλαος Κατσίπης

#9

Πολύ όμορφες όλες οι προσεγγίσεις!

nkatsipis έγραψε:Καλημέρα σας!
Και μια άλλη προσέγγιση:

Υποθέτουμε ότι και οι δύο συναρτήσεις είναι μονότονες στο Τότε:

(*) $\displaystyle\big(f(x)-f(y))(g(x)-g(y)\big)\geq0$ για κάθε $x,y \in [a,b].$

Οπότε, $\displaystyle\int_{a}^{b}\int_{a}^{b}\big(f(x)-f(y))(g(x)-g(y)\big)\,dx\,dy\geq0.$

Δηλαδή,

$\displaystyle\int_{a}^{b}\Big(\int_{a}^{b}\big(f(x)g(x)-f(x)g(y)\big)\,dx\Big)\,dy+\int_{a}^{b}\Big(\int_{a}^{b}\big(f(y)g(y)-f(y)g(x)\big)\,dx\Big)\,dy\geq0$

ή $(b-a)\int_{a}^{b}f(x)g(x)\,dx-\int_{a}^{b}f(x)\,dx\int_{a}^{b}g(x)\,dx+(b-a)\int_{a}^{b}f(x)g(x)\,dx-\int_{a}^{b}f(x)\,dx\int_{a}^{b}g(x)\,dx\geq0.$

Οπότε, $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)g(x)\,dx\geq\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\,dx\cdot\int_{a}^{b}g(x)\,dx$ .

Σχόλια:

(1) Αν μια από τις δύο συναρτήσεις είναι φθίνουσα και η άλλη αύξουσα τότε η (*) γίνεται

$\displaystyle\big(f(x)-f(y))(g(x)-g(y)\big)\leq0$ για κάθε $x,y \in [a,b].$

(2) Αν γράψουμε την ανισότητα έτσι:

$\frac{1}{b-a}\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)g(x)\,dx\geq\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\,dx\cdot\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}g(x)\,dx$ , μπορούμε να έχουμε μια μικρή γεωμετρική γεύση!

Νικόλαος Κατσίπης

Κύριε Κατσίπη η λύση σας είναι αυτή που είχα και εγώ κατα νού..
Αναρωτιέμαι πόσο "σφιχτή" είναι αυτή η ανισότητα

#10

Αναφέρω και την γενίκευση:

Αν $f_{1},\ldots,f_{n}$ είναι μη αρνητικές και ολοκληρώσιμες συναρτήσεις στο [a,b]

και είναι όλες αύξουσες ή όλες φθίνουσες, τότε,

$(b-a)^{n-1}\int_{a}^bf_{1}(x)f_{2}(x)\cdots f_{n}(x)\,dx\geq\int_{a}^bf_{1}(x)\,dx\cdot\int_{a}^bf_{2}(x)\,dx\cdots\int_{a}^bf_{n}(x)\,dx.$ .

(Υπάρχει στο: "Tables of Integrals, Series, and Products" των Gradshteyn και Ryzhik.)

Νικόλαος Κατσίπης

#11

Γειά σας
Μία κάπως πιό κοντά στα μαθητικά ήθη προσέγγιση (που όπως διαπιστώνω δεν είναι πολύ διαφορετική από την προσέγγιση του Ν. Κατσίπη) είναι η ακόλουθη:
Θεωρούμε, κλασικά, την συνάρτηση:
$F\left( x\right) =\left( x-a\right) \int_{a}^{x}f\left( t\right) g\left( t\right) dt-\left( \int_{a}^{x}f\left( t\right) dt\right) \left( \int_{a}^{x}g\left( t\right) dt\right)$
Είναι
$F^{\prime }\left( x\right) =\left( x-a\right) \int_{a}^{x}f\left( t\right) g\left( t\right) dt-\left( \int_{a}^{x}f\left( t\right) dt\right) \left( \int_{a}^{x}g\left( t\right) dt\right) =$
$=\int_{a}^{x}f\left( t\right) g\left( t\right) dt+\left( x-a\right) f\left( x\right) g\left( x\right) -f\left( x\right) \left( \int_{a}^{x}g\left( t\right) dt\right) -\left( \int_{a}^{x}f\left( t\right) dt\right) g\left( x\right) =$
$=\int_{a}^{x}f\left( t\right) g\left( t\right) dt+\int_{a}^{x}f\left( x\right) g\left( x\right) dt-\left( \int_{a}^{x}f\left( x\right) g\left( t\right) dt\right) -\left( \int_{a}^{x}g\left( x\right) f\left( t\right) dt\right) =$
$=\int_{a}^{x}\left( f\left( t\right) g\left( t\right) +f\left( x\right) g\left( x\right) -f\left( x\right) g\left( t\right) -g\left( x\right) f\left( t\right) \right) dt=\int_{a}^{x}\left( f\left( t\right) -f\left( x\right) \right) \left( g\left( t\right) -g\left( x\right) \right) dt$
Βλέπουμε ότι αν οι f,g

έχουν ίδιο είδος μονοτονίας είναι $F^{\prime }\left( x\right) \geq 0$ ενώ αν έχουν διαφορετικό είναι $F^{\prime }\left( x\right) \leq 0$ και αντίστοιχα η

είναι αύξουσα ή φθίνουσα. Είναι $F\left( \alpha \right) =0$ οπότε κατά περίπτωση $F\left( \beta \right) \geq 0$ , $F\left( \beta \right) \leq 0$ .
Μαυρογιάννης

#12

Οι ζητούμενες ανισότητες προκύπτουν απευθείας από τον ορισμό -- ή την βασική ιδιότητα τέλος πάντων -- του ολοκληρώματος, $\int_{a}^{b}f(x)dx=lim(\frac{b-a}{n})\sum_{1}^{n}f[a+k(\frac{b-a}{n})]$ .

Πράγματι αν $f_{k}=f[a+k(\frac{b-a}{n})]$ και $g_{k}=g[a+k(\frac{b-a}{n})]$ τότε αρκεί για κάθε

να αποδειχθούν (με εύκολη επαγωγή για παράδειγμα) οι ανισότητες

$(f_{1}+f_{2}+...+f_{n})\cdot(g_{1}+g_{2}+...+g_{n})\leq n(f_{1}g_{1}+f_{2}g_{2}+...+f_{n}g_{n})$

(με τις πεπερασμένες ακολουθίες $\{f_{k}\}$ και $\{g_{k}\}$ είτε αμφότερες αύξουσες είτε αμφότερες φθίνουσες)

ΚΑΙ

$(f_{1}+f_{2}+...+f_{n})\cdot(g_{1}+g_{2}+...+g_{n})\geq n(f_{1}g_{1}+f_{2}g_{2}+...+f_{n}g_{n})$

(είτε με την πεπερασμένη ακολουθία $\{f_{k}\}$ αύξουσα και την πεπερασμένη ακολουθία $\{g_{k}\}$ φθίνουσα είτε αντίστροφα).

Γιώργος Μπαλόγλου

Ανισότητα (Chebyshev) (Προς Αποδ.)

Ανισότητα (Chebyshev) (Προς Αποδ.)

Re: Ανισότητα (Chebyshev)

Re: Ανισότητα (Chebyshev)

Re: Ανισότητα (Chebyshev)

Re: Ανισότητα (Chebyshev)

Re: Ανισότητα (Chebyshev)

Re: Ανισότητα (Chebyshev)

Re: Ανισότητα (Chebyshev)

Re: Ανισότητα (Chebyshev)

Re: Ανισότητα (Chebyshev)

Re: Ανισότητα (Chebyshev)

Re: Ανισότητα (Chebyshev) (Προς Αποδ.)

Μέλη σε σύνδεση