Μηδενική συνάρτηση (Δ6.Α28.)

#1

Οι συναρτήσεις f,g

είναι συνεχείς στο $\mathbb{R}$ και επιπλέον

1) $f(x)=0, \forall x \in \mathbb{Z}$

2) $\displaystyle{f(x)= \int_0^x f(t)e^{g(t)}dt, \forall x \in \mathbb{R}}$

Να αποδειχθεί ότι $f(x)=0, \forall x \in \mathbb{R}$

hsiodos · #2

Η $\displaystyle{f}$ είναι παραγωγίσιμη στο R με $\displaystyle{\,f{'} (x) = f(x)e^{g(x)} }$

Έστω $\displaystyle{k \in Z\,\,}$

Η $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{\left[ {k,k + 1} \right]}$ και άρα παίρνει ελάχιστη και μέγιστη τιμή. Έχουμε $\displaystyle{ f(k) = f(k + 1) = 0}$

Αν δεχθούμε ότι η f παρουσιάζει ακρότατο στο $\displaystyle{r \in \left( {k,k + 1} \right)}$ τότε (Fermat) $\displaystyle{ f{'} (r) = 0 \Rightarrow f(r)e^{g(r)} = 0 \Rightarrow f(r) = 0}$ δηλαδή το ακρότατο θα είναι ίσο με μηδέν.

Συμπεραίνουμε ότι $\displaystyle{f(x) = 0}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \left[ {k,k + 1} \right]}$ και αυτό για κάθε $\displaystyle{k \in Z\,}$

Συνεπώς $\displaystyle{f(x) = 0}$ για κάθε $\displaystyle{x \in R}$

Γιώργος

#3

Πρωτότυπη (για εμένα τουλάχιστον) άσκηση και πολύ ωραία η λύση που έδωσε ο Γιώργος.

Μηδενική συνάρτηση (Δ6.Α28.)

Μηδενική συνάρτηση (Δ6.Α28.)

Re: Μηδενική συνάρτηση

Re: Μηδενική συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση