Εμβαδόν από παραβολές

Γιώργος Απόκης · #1

Δίνονται οι παραβολές C_a:y^2=2ax,~C_b:y^2=2bx

με

. H ευθεία με εξίσωση $(\epsilon):x=a+b$ τέμνει

την C_a

στα

, την

στα

και τον

στο

.

α) Nα βρεθούν τα μήκη των LN,MK

.

β) Nα βρεθεί το εμβαδό

του (γραμμοσκιασμένου) χωρίου που περικλείεται από τις C_a,~C_b

και $\epsilon$ .

γ) Αν $\displaystyle{E=\frac{80\sqrt{10}}{3}\tau . \mu .}$ και P(10,0)

να βρεθούν τα a,b

.

#2

Κατ' αρχήν να διευκρινίσω ότι αφήνω τη χρήση των ολοκληρωμάτων πρώτα στους μαθητές.

Θα προσεγγίσω το θέμα του Γιώργου με τη μέθοδο τετραγωνισμού της Παραβολής, με τον τύπο του Αρχιμήδη (νομίζω στο «Περί των μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένην Έφοδος »)

Με το σχήμα του Γιώργου.

Είναι $\displaystyle L\left( {a + b,\;\sqrt {2a\left( {a + b} \right)} } \right),\;\;N\left( {a + b,\; - \sqrt {2a\left( {a + b} \right)} } \right) \Rightarrow LN = 2\sqrt {2a\left( {a + b} \right)}$ ,

οπότε $\displaystyle \left( {LON} \right) = \frac{1}{2}OP \cdot LN = \left( {a + b} \right)\sqrt {2a\left( {a + b} \right)}$

Έστω $\displaystyle E_1$ το εμβαδόν του μικτόγραμμου χωρίου $\displaystyle ONPLO$ , οπότε

$\displaystyle E_1 = \frac{4}{3}\left( {LON} \right) = \frac{4}{3}\left( {a + b} \right)\sqrt {2a\left( {a + b} \right)}$

Είναι $\displaystyle K\left( {a + b,\;\sqrt {2b\left( {a + b} \right)} } \right),\;\;M\left( {a + b,\; - \sqrt {2b\left( {a + b} \right)} } \right) \Rightarrow KM = 2\sqrt {2b\left( {a + b} \right)}$ ,

οπότε $\displaystyle \left( {KOM} \right) = \frac{1}{2}OP \cdot KM = \left( {a + b} \right)\sqrt {2b\left( {a + b} \right)}$

Έστω $\displaystyle E_2$ το εμβαδόν του μικτόγραμμου χωρίου $\displaystyle OMPKO$ ,

οπότε $\displaystyle E_2 = \frac{4}{3}\left( {LON} \right) = \frac{4}{3}\left( {a + b} \right)\sqrt {2b\left( {a + b} \right)}$

Οπότε $\displaystyle E = \frac{4}{3}\left( {a + b} \right)\sqrt {2\left( {a + b} \right)} \left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)$

Αν $\displaystyle E = \frac{{80\sqrt {10} }}{3},\;a + b = 10$

τότε ... $\displaystyle \sqrt a - \sqrt b = \sqrt 2 \Leftrightarrow a + b - 2\sqrt {ab} = 2 \Leftrightarrow \sqrt {ab} = 4 \Leftrightarrow ab = 16$

οπότε $\displaystyle a = 8,\;b = 2$

Γιώργος Απόκης · #3

Γιώργος Ρίζος έγραψε: Θα προσεγγίσω το θέμα του Γιώργου με τη μέθοδο τετραγωνισμού της Παραβολής, με τον τύπο του Αρχιμήδη (νομίζω στο «Περί των μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένην Έφοδος »)

#4

Οι συντεταγμένες του σημείου $\displaystyle{L}$ είναι $\displaystyle{(a+b, \sqrt{2a^2+2ab})}$
Όμοια οι συντεταγμένες του σημείου $\displaystyle{K}$ είναι: $\displaystyle{(a+b, \sqrt{2b^2+2ab})}$
Άρα:
1ο) $\displaystyle{NL=2\sqrt{2a^2+2ab} \ \ (1)}$
$\displaystyle{MK=2\sqrt{2b^2+2ab}\ \ (2)}$
(λόγω συμμετρίας ως προς τον οριζόντιο άξονα)

2ο) Για το εμβαδόν είναι:
$\displaystyle E(\Omega )=2\int_{0}^{a+b}{(\sqrt{2ax}-\sqrt{2bx})dx}$
που εύκολα υπλογίζεται και είναι τελικά:
$\displaystyle E(\Omega )=\frac{4}{3}\sqrt{\left(a+b \right)^3}\left(\sqrt{2a}-\sqrt{2b} \right) \ \ (3)$

3ο)Αν
$\displaystyle \left.\begin{matrix} E(\Omega )=\frac{80\sqrt{10}}{3}\\a+b=10 \ \ (4) \end{matrix}\right\}$ τότε από την (3) προκύπτει:
$\displaystyle \displaystyle \frac{4}{3}\sqrt{\left(a+b \right)^3}\left(\sqrt{2a}-\sqrt{2b} \right) =\frac{80\sqrt{10}}{3}$
η οποία ακόμα δίνει:
$\displaystyle \sqrt{2a}-\sqrt{2b}=2 \ \ (5)$
Τελικά από το σύστημα των (4) και (5) βρίσκουμε ότι:
$\displaystyle{a=8}$ και $\displaystyle{b=2}$ .

Κώστας Δόρτσιος

Με πρόλαβε ο Γιώργος είναι πιο γρήγορος.

#5

Αν αφαιρέσουμε το χρόνο που χρειάστηκε ο Κώστας για το σχήμα, προηγείται σαφώς...

Για τη μέθοδο του Αρχιμήδη, κατά σύμπτωση παρακολούθησα χθες τη διάλεξη του καλού φίλου Γιώργου Μπούκη εδώ
στο παράρτημα Κέρκυρας της ΕΜΕ (<- κλικ)

Δείτε επίσης (τυχαία επιλογή)

http://www.math.uoa.gr/me/dipl/dipl_basileiou.pdf

http://users.auth.gr/~vzoig/tetragwnismos.pdf

Εμβαδόν από παραβολές

Εμβαδόν από παραβολές

Re: Εμβαδόν από παραβολές

Re: Εμβαδόν από παραβολές

Re: Εμβαδόν από παραβολές

Re: Εμβαδόν από παραβολές

Μέλη σε σύνδεση