Ίσες συναρτήσεις

mathxl · #1

Ας είναι f,g,h τρεις συνεχείς συναρτήσεις ορισμένες στο [0,1] τέτοιες ώστε $\displaystyle{\int_0^1 {h\left( x \right)} f(x)dx = \int_0^1 {h\left( x \right)} g(x)dx\:}$ για κάθε h(x). Να δείξετε ότι f=g

giannisn1990 · #2

θέτουμε

άρα $\displaystyle \int_0^1 f^{2}(x)dx=\int_0^1f(x)g(x)dx$ (1)

θέτουμε πάλι h(x)=g(x)

άρα $\displaystyle \int_0^1 g^{2}(x)dx=\int_0^1f(x)g(x)dx$ (2)

προσθέτουμε τις (1),(2) και έχουμε $\displaystyle \int_0^1 f^{2}(x)dx+\int_0^1 g^{2}(x)dx=2\int_0^1 f(x) g(x)dx$ άρα

$\displaystyle \int_0^1 (f(x)-g(x)) ^{2} dx=0$ συνεπώς αφού η μέσα συνάρτηση είναι μη αρνητική έχουμε $f(x)=g(x) \forall x\in [0,1]$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

mathxl · #3

Γιάννη η άσκηση αντί για h(x) είχε χ^ν (από Ρουμανία) και κάποιος στην λύση την γενίκευσε αντί για x^n έλεγε για οποιαδήποτε πολυωνυμική
Την άλλαξα και έβαλα οποιαδήποτε συνάρτηση h...
Η λύση που είχαν είναι η εξής
τα φέρνεισ στο πρώτο μέλος οπότε η ολοκληρωτέα συνάρτηση γίνεται h(f-g)=0 έπειτα σκέφτηκα να βάλουμε όπου h=f-g και να ξεμπερδέψουμε

k-ser · #4

mathxl έγραψε:Ας είναι f,g,h τρεις συνεχείς συναρτήσεις ορισμένες στο [0,1] τέτοιες ώστε $\int_0^1 {h\left( x \right)} f(x)dx = \int_0^1 {h\left( x \right)} g(x)dx\:$ για κάθε h(x). Να δείξετε ότι f=g

Βασίλη... δεν κατάλαβα!
Η αρχική διατύπωση ήταν:
Ας είναι f,g δύο συνεχείς συναρτήσεις ορισμένες στο [0,1] τέτοιες ώστε $\color{blue}\int_0^1 {x^n} f(x)dx = \int_0^1 {x^n} g(x)dx\:$ . Να δείξετε ότι f=g
;;;

mathxl · #5

Ναι Κώστα αλλά επιπλέον έλεγε για κάθε n ανήκει Ν

#6

mathxl έγραψε:Ας είναι f,g,h τρεις συνεχείς συναρτήσεις ορισμένες στο [0,1] τέτοιες ώστε $\int_0^1 {h\left( x \right)} f(x)dx = \int_0^1 {h\left( x \right)} g(x)dx$ για κάθε h(x). Να δείξετε ότι

Η απόδειξη θα έχει γίνει αν αποδείξουμε ότι οποτεδήποτε είναι $\int_{0}^{1}\phi \left( x\right) h\left( x\right) dx=0$ για κάθε

τότε $\phi =0$ και η απόδειξη είναι ουσιαστικά αυτή που δόθηκε από τον giannisn1990: Στηρίζεται στο γεγονός ότι αν για μία συνάρτηση είναι $\theta \geq 0$ και $\int_{0}^{1}\theta \left( x\right) dx=0$ τότε θα είναι αναγκαστικά $\theta =0$ .
Οι υποθέσεις είναι αρκετά σφιχτές και γιαυτό είναι δυνατόν να δοθεί μία απολύτως σχολική απόδειξη.

Οι υποθέσεις μπορούν να χαλαρώσουν αν ζητήσουμε η σχέση $\int_0^1 {h\left( x \right)} f(x)dx = \int_0^1 {h\left( x \right)} g(x)dx$ να μην ισχύει για όλες τις συνεχείς

αλλά για τις

από ένα κατάλληλο σύνολο. Φυσικά θα απομακρυνθούμε από την σχολική ύλη.
Είτε πούμε από το σύνολο των πολυωνύμων είτε πούμε από το σύνολο όλων των μονωνύμων $x^{n}$ είναι, λόγω της γραμμικότητας του ολοκληρώματος, ένα και το αυτό. Ας σταθούμε λοιπόν στα πολυώνυμα. Από το θεώρημα προσέγγισης του Weierstrass ξέρουμε ότι το σύνολο των πολυωνύμων είναι πυκνό, ως προς την $\sup$ norm στο σύνολο των συνεχών συναρτήσεων. Αυτή η τεχνική διατύπωση σημαίνει απλώς ότι:

Για κάθε συνεχή συνάρτηση ορισμένη στο και κάθε θετικό αριθμό $\varepsilon$ υπάρχει κατάλληλο πολυώνυμο ώστε
$\max \left\{ \left| f\left( x\right) -P\left( x\right) \right| \,|\, x\in \left[ 0,1\right] \right\} <\varepsilon$

Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι για την συνάρτηση $\phi$ είναι $\int_{0}^{1}\phi \left( x\right) h\left( x\right) dx=0$ για κάθε πολυώνυμο

. Θα δείξουμε ότι $\phi =0$ δείχνοντας ότι $\int_{0}^{1}\phi ^{2}\left( x\right) dx=0$ .
Θεωρούμε τον $\sqrt{\varepsilon }$ . Τότε υπάρχει πολυώνυμο

ώστε
$\left| \phi\left( x\right) -P\left( x\right) \right| <\sqrt{\varepsilon }$ για όλα τα

. Αυτό μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι $0\leq \left( \phi\left( x\right) -P\left( x\right) \right) ^{2}<\varepsilon$ και με την σειρά του στο
$0\leq \int_{0}^{1}\phi^{2}\left( x\right) dx+\int_{0}^{1}P^{2}\left( x\right) dx<\varepsilon$ (αφού $\int_{0}^{1}\phi \left( x\right) P\left( x\right) dx=0$ ) και επομένως $0\leq \int_{0}^{1}\phi ^{2}\left( x\right) dx<\varepsilon$ και αυτό ισχύει για κάθε $\varepsilon >0$ . Άρα $\int_{0}^{1}\phi ^{2}\left( x\right) dx=0$ .

Tα παραπάνω επιδέχονται και μία "γεωμετρική" ερμηνεία. Στον διανυσματικό χώρο των συνεχών συναρτήσεων του [0,1]

η παράσταση $\int_{0}^{1}f\left( x\right) g\left( x\right) dx$ ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο. Αν ένα διάνυσμα $\phi$ (που εδώ είναι μία συνάρτηση) είναι κάθετο ως προς αυτό το εσωτερικό γινόμενο προς όλα τα διανύσματα (η απλή περίπτωση) ή προς αρκετά κατάλληλα διανύσματα (τα x^n, m=0,1,2,,

που η γραμμική τους θήκη είναι πυκνή μέσα στο χώρο) τότε δεν γίνεται παρά το διάνυσμα $\phi$ να είναι μηδέν.
Αν θυμάμαι καλά μάλλον στο παλιό mathematica μας είχε απασχολήσει παρόμοιο θέμα όπου είχε γράψει μία απάντηση ο καθ΄ύλην κατά πολύ αρμοδιότερος Μιχάλης Λάμπρου. Δυστυχώς δεν μπόρεσα να εντοπίσω εκείνη την απάντηση.
Μαυρογιάννης

mathxl · #7

Αλλιώς
Έστω ότι υπάρχει κάποιος α πραγματικός ώστε f(α) διαφορετικό g(α)
Θεωρούμε την h(x)=f(α)-g(α)
με αντικατάσταση στην σχέση με τα ολοκληρώματα βρίσκουμε f(α)=g(α), άτοπο
Άρα για κάθε πραγματικό α, είναι f(α)=g(α)
και επειδή έχουν ίδιο σύνολο ορισμού τελειώσαμε

Ίσες συναρτήσεις

Ίσες συναρτήσεις

Re: Ίσες συναρτήσεις

Re: Ίσες συναρτήσεις

Re: Ίσες συναρτήσεις

Re: Ίσες συναρτήσεις

Re: Ίσες συναρτήσεις

Re: Ίσες συναρτήσεις

Μέλη σε σύνδεση