ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΑΝΊΣΩΣΗ

varv19 · #1

Έστω μια συνάρτηση

παραγωγίσιμη στο $\left[ {0,{\kern 1pt} {\kern 1pt} + \infty } \right)$ με $f\left( 0 \right) = 0$ και $0 < f'\left( x \right) \le 1$ . Να αποδείξετε ότι $\left( {\int_0^x {f\left( t \right)} dt} \right)^2 \ge \int_0^x {f^3 \left( t \right)} dt$ για κάθε $x \ge 0$ .

#2

varv19 έγραψε:Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο $\left[ {0,{\kern 1pt} {\kern 1pt} + \infty } \right)$ με $f\left( 0 \right) = 0$ και $0 < f'\left( x \right) \le 1$ . Να αποδείξετε ότι $\left( {\int_0^x {f\left( t \right)} dt} \right)^2 \ge \int_0^x {f^3 \left( t \right)} dt$ για κάθε $x \ge 0$ .

Σίγουρα το έχουμε ξαναδεί. Ουσιαστικά είναι από τον διαγωνισμό Putnam του 1973.

Θεωρούμε τη συνάρτηση

$\displaystyle{g(x)=\Big(\int_{0}^{x}f(t)dt\Big)^2-\int_{0}^{x}f^3(t)dt,}$ με $\displaystyle{x\in [0,1]}$

Είναι

$\displaystyle{g'(x)=2f(x)\int_{0}^{x}f(t)dt-f^3(x)=f(x)\Big(2\int_{0}^{x}f(t)dt-f^2(x)\Big)}$ . (1)

Όμως, είναι $\displaystyle{f'(x)>0}$ άρα $\displaystyle{f}$ γνησίως αύξουσα, οπότε για $\displaystyle{x>0}$ είναι $\displaystyle{f(x)>f(0).}$

Επίσης η συνάρτηση

$\displaystyle{h(x)=2\int_{0}^{x}f(t)dt-f^2(x)}$

έχει $\displaystyle{h'(x)=2f(x)-2f(x)f'(x)=2f(x)(1-f'(x))\geq 0,}$ οπότε είναι αύξουσα, άρα αν $\displaystyle{x>0}$ είναι $\displaystyle{h(x)\geq h(0)=0.}$

Τότε, λόγω της (1) η $\displaystyle{g}$ είναι αύξουσα και επομένως αν $\displaystyle{x\geq 0}$ προκύπτει $\displaystyle{g(x)\geq g(0),}$

δηλαδή η ζητούμενη.

varv19 · #3

Ευχαριστώ πολύ για την άμεση απάντηση.

parmenides51 · #4

εδώ, εδώ κι εδώ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΑΝΊΣΩΣΗ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΑΝΊΣΩΣΗ

Re: ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΑΝΊΣΩΣΗ

Re: ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΑΝΊΣΩΣΗ

Re: ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΑΝΊΣΩΣΗ

Μέλη σε σύνδεση