Tύπος συνάρτησης

pito · #1

Έστω η συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ συνεχής με $\displaystyle f(x)=3x+4-\int_{0}^{x}{f(\psi )(x-\psi )d\psi }$ για κάθε
$x,\psi \in R$ .

Να δείξετε ότι $f(x)=3\eta \mu x+4\sigma \upsilon \nu x$

#2

H δοσμένη σχέση γράφεται:
$\displaystyle{f(x)=3x+4-x\int_0^xf(y)dy+\int_0^xyf(y)dy (I)}$

Παραγωγίζουμε την (I)

και έχουμε ότι

$\displaystyle{f'(x)=3-\int_0^xf(y)dy-xf(x)+xf(x) \Leftrightarrow f'(x)=3-\int_0^xf(y)dy (II)}$

Παραγωγίζουμε την (II)

και έχουμε ότι

$\displaystyle{f''(x)=-f(x) \Leftrightarrow f''(x)\sigma \upsilon \nu x+f(x)\sigma \upsilon \nu x=0 \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow f''(x)\sigma \upsilon \nu x-f'(x)\eta \mu x+f'(x)\eta \mu x+f(x)\sigma \upsilon \nu x=0 \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow (f'(x)\sigma \upsilon \nu x)'+(f(x)\eta \mu x)' =(c_1)'}$ , όπου $c_1\in \mathbb{R}$ ,

οπότε

$\displaystyle{ f'(x)\sigma \upsilon \nu x+f(x)\eta \mu x =c_1}$

και
$\displaystyle{ \frac{f'(x)\sigma \upsilon \nu x+f(x)\eta \mu x}{\sigma \upsilon \nu^2 x} =\frac{c_1}{\sigma \upsilon \nu^2 x} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow \left ( \frac{f(x)}{\sigma \upsilon \nu x} \right)' =(c_1 \varepsilon \varphi x)' }$ ,

οπότε

$\displaystyle{ \frac{f(x)}{\sigma \upsilon \nu x} =c_1 \varepsilon \varphi x +c_2}$ , όπου $c_1,c_2 \in \mathbb{R}$ .

Συνεπώς:

$\displaystyle{ f(x) =c_1 \eta \mu x+c_2\sigma \upsilon \nu x (III)}$ .

Από την αρχική σχέση για x=0

βρίσκουμε ότι f(0)=4

,

άρα

και κατά συνέπεια $\displaystyle{ f(x) =c_1 \eta \mu x+4\sigma \upsilon \nu x}$ , όπου $c_1\in \mathbb{R}$ .

Η συνάρτηση αυτή πρέπει να επαληθεύει και την αρχική, οπότε:

$\displaystyle{c_1 \eta \mu x+4\sigma \upsilon \nu x=3x+4-\int_0^x(x-y)(c_1 \eta \mu y+4\sigma \upsilon \nu y)dy \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\Leftrightarrow c_1 \eta \mu x+4\sigma \upsilon \nu x=3x+4-x\int_0^x(c_1 \eta \mu y+4\sigma \upsilon \nu y)dy+\int_0^xy(c_1 \eta \mu y+4\sigma \upsilon \nu y)dy \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\Leftrightarrow c_1 \eta \mu x+4\sigma \upsilon \nu x=3x+4-x\left [-c_1\sigma \upsilon \nu y +4\eta \mu y \right ]_0^x+\left[4\sigma \upsilon \nu y-c_1x\sigma \upsilon \nu y+c_1\eta \mu y+4x\eta \mu y \right]_0^x \Leftrightarrow c_1=3}$ .

Συνεπώς $f(x)=3 \eta \mu x+4\sigma \upsilon \nu x$ .

pito · #3

Λευτέρη σε ευχαριστώ πολύ για την ενασχόληση, την ισοπέδωσες!

makisman · #4

να ρωτήσω ,
η ποσότητα dψ τί νόημα έχει για κάθε ψ ?

#5

makisman έγραψε:να ρωτήσω ,
η ποσότητα dψ τί νόημα έχει για κάθε ψ ?

Νομίζω ότι είναι τυπογραφικό.

Δύο ερωτήσεις για την μαθηματική μας κοινότητα.

1. Στην λύση που παρουσίασα παραπάνω, υπάρχει ένα θέμα στο σημείο που διαιρώ με το τετράγωνο του συνημιτόνου. Δεν έβαλα τα ενδιάμεσα βήματα γιατί η λύση γινόταν τεράστια. Υπάρχει κάποια ιδέα που δεν βλέπω για την αποφυγή του παραπάνω βήματος;

2. Αν δεν υπάρχει, πιστεύετε ότι είναι ερώτημα εξετάσεων το παραπάνω; Αν αλλάξουμε το πεδίο ορισμού οκ. Έτσι όπως είναι;

Για τα παραπάνω ερωτήματα θεωρώ ότι μας ζητείται η εύρεση της συνάρτησης και όχι η απόδειξη ....

Andreas Dalaoutis · #6

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:H δοσμένη σχέση γράφεται:
$\displaystyle{f(x)=3x+4-x\int_0^xf(y)dy+\int_0^xyf(y)dy (I)}$

Παραγωγίζουμε την και έχουμε ότι

$\displaystyle{f'(x)=3-\int_0^xf(y)dy-xf(x)+xf(x) \Leftrightarrow f'(x)=3-\int_0^xf(y)dy (II)}$

Ως προς ποια μεταβλητή παραγώγισες την (I);

#7

Ως προς χ.

Αν ήταν ως προς y κάθε ένα από τα δύο μέλη θα ήταν ίσα με 0.

Andreas Dalaoutis · #8

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:Ως προς χ.

Αν ήταν ως προς y κάθε ένα από τα δύο μέλη θα ήταν ίσα με 0.

Χαζή ερώτηση έκανα. Άλλο είχα στο μυαλό μου.

Tύπος συνάρτησης

Tύπος συνάρτησης

Re: Tύπος συνάρτησης

Re: Tύπος συνάρτησης

Re: Tύπος συνάρτησης

Re: Tύπος συνάρτησης

Re: Tύπος συνάρτησης

Re: Tύπος συνάρτησης

Re: Tύπος συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση