Άσκηση-8-8-

#1

καλησπέρα σας
-------------------------------------

Η συνάρτηση

είναι συνεχής στο [0,1]

και ισχύει $\displaystyle{\int_x^1f(u) du\geq \frac{1-x^2}{2}$ για κάθε $\,\,\ x\in [0,1]}$
Να αποδείξετε ότι ι) $\,\,\displaystyle{\int_0^1 tf(t)dt\geq \frac{1}{3}}$ ιι) $\,\,\displaystyle{\int_0^1f^2(t)dt\geq \frac{1}{3}}$

mathxl · #2

Συγγενεύει με την viewtopic.php?f=54&t=2583

#3

mathxl έγραψε:Συγγενεύει με την viewtopic.php?f=54&t=2583

Βασίλη ,δε θυμάμαι πόσες και ποιες έχουν περάσει και σε λίγο όλες θα βγουν αδελφές

peter · #4

Φωτεινή έγραψε:καλησπέρα σας
-------------------------------------

Η συνάρτηση είναι συνεχής στο και ισχύει $\displaystyle{\int_x^1f(u) du\geq \frac{1-x^2}{2}$ για κάθε $\,\,\ x\in [0,1]}$
Να αποδείξετε ότι ι) $\,\,\displaystyle{\int_0^1 tf(t)dt\geq \frac{1}{3}}$ ιι) $\,\,\displaystyle{\int_0^1f^2(t)dt\geq \frac{1}{3}}$

Για το (i): Θέτουμε $\displaystyle g(x)=\int_x^1 f(t)\, dt$ . Τότε, $\displaystyle \int_0^1g(t)\, dt\geq \int_0^1 \frac{1-t^2}{2}\, dt=\frac{1}{3}$ . Επίσης, ισχύει $\displaystyle \int_0^1 g(t)\, dt=\int_0^1 tf(t)\, dt$ .

Για το (ii) κάνουμε Cauchy - Schwarz: $\displaystyle \left(\int_0^1 tf(t)\, dt\right)^2\leq \int_0^1 t^2 \, dt \int_0^1 (f(t))^2\, dt$ .

mathxl · #5

Το β αλλιώς
$\begin{array}{l} \int\limits_0^1 {{{\left[ {f\left( x \right) - x} \right]}^2}dx} \ge 0 \Rightarrow \int\limits_0^1 {{f^2}\left( x \right)dx} + \frac{1}{3} \ge 2\int\limits_0^1 {xf\left( x \right)dx} \ge 2 \cdot \frac{1}{3} \Rightarrow \\ \Rightarrow \int\limits_0^1 {{f^2}\left( x \right)dx} \ge \frac{1}{3} \\ \end{array}$

Άσκηση-8-8-

Άσκηση-8-8-

Re: Άσκηση-8-8-

Re: Άσκηση-8-8-

Re: Άσκηση-8-8-

Re: Άσκηση-8-8-

Μέλη σε σύνδεση