Περιοδική - Ολοκληρώσιμη

Μάκης Χατζόπουλος · #1

Αφού τα ολοκληρώματα είναι της μόδας και μετά από την σειρά τα βραδυνά ολοκληρώματα (by mathxl) παρουσιάζω τα χειμερινά ολοκληρώματα!

Χειμερινό Ολοκλήρωμα 1
Αν η συνάρτηση f είναι περιοδική T – περιοδική και ολοκληρώσιμη, τότε το αόριστο ολοκλήρωμα $\displaystyle{ \int {f\left( x \right)dx} }$ στο $\displaystyle{ R }$
είναι T – περιοδική συνάρτηση;

#2

Το αόριστο ολοκλήρωμα δεν είναι συνάρτηση.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Ιστοσελίδα · #3

Προφανώς εννοεί κάθε συνάρτηση από το σύνολο των συναρτήσεων του αορίστου ολοκληρώματος ότι είναι περιοδική...

Πάντως σίγουρα δεν ισχύει για μη συνεχείς συναρτήσεις f, αφού :

Αν $f(x) = \left{ \begin{tabular} 1 1, \forall x \in [0,1)\\ -1, \forall x \in [1,2] \end{tabular}\right.$
και οριζόμενη ομοίως στους πραγματικούς με περίοδο 2 δεν ικανοποιεί τη συνθήκη...

#4

polysot έγραψε:Πάντως σίγουρα δεν ισχύει για μη συνεχείς συναρτήσεις f, αφού :

Αν
και οριζόμενη ομοίως στους πραγματικούς με περίοδο 2 δεν ικανοποιεί τη συνθήκη...

Ποιό είναι το αόριστο ολοκλήρωμα της συνάρτησης αυτής;

Παρεπιμπτόντως, ορίζεται το αόριστο ολοκλήρωμα μη συνεχούς συνάρτησης (που ορίζεται σε διάστημα);

Φιλικά,

Αχιλλέας

#5

H συνάρτηση f με :

$\displaystyle{ f(x) = \left\{ {_{0,x = 0}^{2x\sin \left( {\frac{1}{x}} \right) - \cos \left( {\frac{1}{x}} \right),x \ne 0} } \right. }$

έχει παράγουσα τη συνάρτηση:

$\displaystyle{ F(x) = \left\{ {_{0,x = 0}^{x^2 \sin \left( {\frac{1}{x}} \right),x \ne 0} } \right. }$

Η f είναι ασυνεχής στο 0, αλλά μας αρκεί το ''φραγμένο'' της.
Πάντως ως μαθηματικοί πρέπει κάπου να...καταλήξουμε σχετικά με τον ορισμό της παράγουσας του αόριστου ολοκληρώματος κτλ, κτλ.Αν ανοίξεις 10 διαφορετικά βιβλία, θα δείς 10 διαφορετικούς ορισμούς.

Ξαναδίνω την πρόταση που υπάρχει στο βιβλίο ''Μαθηματική Ανάλυση,τόμος2'' του καθηγητού του Ε.Μ.Π Θ.Ρασσιά:

''Είναι δυνατόν μια συνάρτηση F να είναι αόριστο ολοκλήρωμα (ή παράγουσα ή αρχική)
μιας συνάρτησης f στο διάστημα (α,β) ,χωρίς να υπάρχει η πσράγωγος της F για κάθε χ στο (α,β).
Όμως για να είναι η F ένα αόριστο ολοκλήρωμα της f στο (α,β) θα πρέπει η F να είναι συνεχής στο (α,β)και η μη ύπαρξη της παραγώγου να επιτρέπεται μόνο για πεπερασμένο πλήθος σημείων του (α,β)

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Ιστοσελίδα · #6

achilleas έγραψε:
polysot έγραψε:Πάντως σίγουρα δεν ισχύει για μη συνεχείς συναρτήσεις f, αφού :

Αν
και οριζόμενη ομοίως στους πραγματικούς με περίοδο 2 δεν ικανοποιεί τη συνθήκη...
Ποιό είναι το αόριστο ολοκλήρωμα της συνάρτησης αυτής;

Παρεπιμπτόντως, ορίζεται το αόριστο ολοκλήρωμα μη συνεχούς συνάρτησης (που ορίζεται σε διάστημα);

Φιλικά,

Αχιλλέας

Άρα λοιπόν πρέπει καταρχήν να προσθέσουμε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής...
Επίσης υπάρχουν συνεχείς συναρτήσεις με μη συνεχή παράγωγο, δηλαδή μη συνεχείς συναρτήσεις με συνεχή παράγουσα..

Μόλις είδα και το παράδειγμα του χρήστου που με καλύπτει πλήρως.

mathxl · #7

chris_gatos έγραψε:

Πάντως ως μαθηματικοί πρέπει κάπου να...καταλήξουμε σχετικά με τον ορισμό της παράγουσας του αόριστου ολοκληρώματος κτλ, κτλ.Αν ανοίξεις 10 διαφορετικά βιβλία, θα δείς 10 διαφορετικούς ορισμούς.

Πόσο δίκιο έχεις Χρήστο!! Ψυχανεμίζομαι (νομίζω όλοι μας) ότι αυτός ο ορισμός εξυπηρετεί για υπολογισμό ορισμένου ολοκληρώματος (σημεία ασυνέχειας να έχουν μέτρο 0 κατά λεμπεσκ)

Με στεναχωρεί και μένα που μιλάμε για το ίδιο πράγμα ΄διαφορετικά από χώρα σε χώρα (ακόμη και στην ίδια χώρα - αυτό είναι ακόμη χειρότερο) κτλ

Ιστοσελίδα · #8

mathxl έγραψε:
chris_gatos έγραψε:

Πάντως ως μαθηματικοί πρέπει κάπου να...καταλήξουμε σχετικά με τον ορισμό της παράγουσας του αόριστου ολοκληρώματος κτλ, κτλ.Αν ανοίξεις 10 διαφορετικά βιβλία, θα δείς 10 διαφορετικούς ορισμούς.

Πόσο δίκιο έχεις Χρήστο!! Ψυχανεμίζομαι (νομίζω όλοι μας) ότι αυτός ο ορισμός εξυπηρετεί για υπολογισμό ορισμένου ολοκληρώματος (σημεία ασυνέχειας να έχουν μέτρο 0 κατά λεμπεσκ)

Με στεναχωρεί και μένα που μιλάμε για το ίδιο πράγμα ΄διαφορετικά από χώρα σε χώρα (ακόμη και στην ίδια χώρα - αυτό είναι ακόμη χειρότερο) κτλ

Αφού στο σχολείο ενδιαφερόμαστε για ολοκλήρωση μόνο συνεχών συναρτήσεων, όλα είναι τοποθετημένα σε αυτήν τη βάση...

Μάκης Χατζόπουλος · #9

Μόλις απάντησε ο achilleas δεν ήθελα να επέμβω γιατί περίμενα κάποιες αντιδράσεις, συμφωνώ ότι υπάρχει πολύ ζουμί στην υπόθεση και για μένα πολλά άγνωστα σημεία, ίσως σε αυτό βοηθάνε και η απροσδιοριστία κάποιων βιβλίων (Πανεπιστημιακών)

Έχουμε $\displaystyle{ \int {f\left( x \right)dx} = F\left( x \right) + c }$ όπου $\displaystyle{ F\left( x \right) = \int\limits_a^x {f\left( t \right)dt} \,\,\,\,\forall a,x \in \Re }$
και c είναι αυθαίρετη σταθερά.

Επειδή ισχύει $\displaystyle{ f\left( {x + T} \right) = f\left( x \right)\,\,\,,\forall x \in \Re }$ είναι:

$\displaystyle{ F\left( {x + T} \right) = \int\limits_a^{x + T} {f\left( t \right)dt} = \int\limits_a^{a + T} {f\left( t \right)dt} + \int\limits_{a + T}^{x + T} {f\left( t \right)dt} }$

δηλ. $\displaystyle{ F\left( {x + T} \right) - F\left( {a + T} \right) = \int\limits_{a + T}^{x + T} {f\left( t \right)dt} = \int\limits_a^x {f\left( t \right)dt} = F\left( x \right) }$

Παίρνουμε λοιπόν $\displaystyle{ F\left( x \right) - F\left( a \right) = F\left( {x + T} \right) - F\left( {a + T} \right) }$ , με $\displaystyle{ F\left( a \right) = 0 }$

οπότε όταν ισχύει $\displaystyle{ 0 = F\left( a \right) = F\left( {a + T} \right),\,\,\,\forall a \in \Re }$ προκύπτει $\displaystyle{ F\left( x \right) = F\left( {x + t} \right) }$ $\displaystyle{ \forall x \in \Re }$

Άρα το αόριστο ολοκλήρωμα $\displaystyle{ \int {f\left( x \right)dx} }$ είναι Τ-περιοδική συνάρτηση όταν για κάποιο $\displaystyle{ a \in \Re }$ ισχύει:

$\displaystyle{ 0 = F\left( a \right) = F\left( {a + T} \right) \Rightarrow \int\limits_a^{a + T} {f\left( t \right)dt} = 0 }$

όπου f είναι Τ – περιοδική συνάρτηση και ολοκληρώσιμη.

Αλλά ισχύει,
$\displaystyle{ \int\limits_a^{a + T} {f\left( t \right)dt} = \int\limits_0^T {f\left( t \right)dt} }$

γιατί, $\displaystyle{ \int\limits_a^{a + T} {f\left( t \right)dt} = \int\limits_a^0 {f\left( t \right)dt + } \int\limits_0^T {f\left( t \right)dt} + \int\limits_T^{a + T} {f\left( t \right)dt} }$

και $\displaystyle{ \int\limits_a^0 {f\left( t \right)dt = \int\limits_{a + T}^T {f\left( {t + T} \right)d\left( {t + T} \right) = - } } \int\limits_T^{a + T} {f\left( t \right)dt} }$

Προφανώς για κάθε άλλη αρχική $\displaystyle{ F\left( x \right) + c }$ έχουμε: $\displaystyle{ F\left( x \right) + c = F\left( {x + T} \right) + c }$

άρα είναι επίσης Τ-περιοδική

Παρατηρήσεις
1. Ο Χρήστος έχει απόλυτα δίκιο… το θέμα με τις αρχικές, τις ολοκληρώσιμες σε συνδυασμό με την συνέχεια επικρατεί ένα μπάχαλο, πρόσφατα διάβαζα ένα βιβλίο του Κυβεντίδη και έχει ένα άλλο ορισμό για την αρχική που διαφέρει με τον ορισμό των άλλων βιβλίων

2. Επίσης η περιοδικότητα της $\displaystyle{ f\left( x \right)\,\,,x \in \Re }$ δηλαδή $\displaystyle{ f\left( {x + T} \right) = f\left( x \right)\,\,,\forall x \in \Re }$ όπου Τ > 0 δεν εξασφαλίζει μόνη της την περιοδικότητα των αρχικών της, πάρτε για παράδειγμα την συνάρτηση $\displaystyle{ f\left( x \right) = \left| {\cos x} \right|\,\,,x \in \Re }$ που είναι π – περιοδική και συνεχής και έχουμε

$\displaystyle{ \int\limits_0^\pi {f\left( t \right)dt} = \int\limits_0^\pi {\left| {\cos t} \right|} dt = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos tdt} + \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\left( { - \cos t} \right)dt} = ... = 2 \ne 0 }$

και οι αρχικές της είναι $\displaystyle{ F\left( x \right) + c = \left( { - 1} \right)^k \sin x + 2k + c }$ όπου $\displaystyle{ k \in Z }$ ,c αυθαίρετη σταθερά και η $\displaystyle{ F\left( x \right) = \int\limits_0^x {\left| {\cos t} \right|dt} \,\,\,\,,x \in \Re }$ είναι αύξουσα συνάρτηση που δεν είναι περιοδική!

Ιστοσελίδα · #10

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Μόλις απάντησε ο achilleas δεν ήθελα να επέμβω γιατί περίμενα κάποιες αντιδράσεις, συμφωνώ ότι υπάρχει πολύ ζουμί στην υπόθεση και για μένα πολλά άγνωστα σημεία, ίσως σε αυτό βοηθάνε και η απροσδιοριστία κάποιων βιβλίων (Πανεπιστημιακών)

Έχουμε $\displaystyle{ \int {f\left( x \right)dx} = F\left( x \right) + c }$ όπου $\displaystyle{ F\left( x \right) = \int\limits_a^x {f\left( t \right)dt} \,\,\,\,\forall a,x \in \Re }$
και c είναι αυθαίρετη σταθερά.

Επειδή ισχύει $\displaystyle{ f\left( {x + T} \right) = f\left( x \right)\,\,\,,\forall x \in \Re }$ είναι:

$\displaystyle{ F\left( {x + T} \right) = \int\limits_a^{x + T} {f\left( t \right)dt} = \int\limits_a^{a + T} {f\left( t \right)dt} + \int\limits_{a + T}^{x + T} {f\left( t \right)dt} }$

δηλ. $\displaystyle{ F\left( {x + T} \right) - F\left( {a + T} \right) = \int\limits_{a + T}^{x + T} {f\left( t \right)dt} = \int\limits_a^x {f\left( t \right)dt} = F\left( x \right) }$

Παίρνουμε λοιπόν $\displaystyle{ F\left( x \right) - F\left( a \right) = F\left( {x + T} \right) - F\left( {a + T} \right) }$ , με $\displaystyle{ F\left( a \right) = 0 }$

οπότε όταν ισχύει $\displaystyle{ 0 = F\left( a \right) = F\left( {a + T} \right),\,\,\,\forall a \in \Re }$ προκύπτει $\displaystyle{ F\left( x \right) = F\left( {x + t} \right) }$ $\displaystyle{ \forall x \in \Re }$

Άρα το αόριστο ολοκλήρωμα $\displaystyle{ \int {f\left( x \right)dx} }$ είναι Τ-περιοδική συνάρτηση όταν για κάποιο $\displaystyle{ a \in \Re }$ ισχύει:

$\displaystyle{ 0 = F\left( a \right) = F\left( {a + T} \right) \Rightarrow \int\limits_a^{a + T} {f\left( t \right)dt} = 0 }$

όπου f είναι Τ – περιοδική συνάρτηση και ολοκληρώσιμη.

Αλλά ισχύει,
$\displaystyle{ \int\limits_a^{a + T} {f\left( t \right)dt} = \int\limits_0^T {f\left( t \right)dt} }$

γιατί, $\displaystyle{ \int\limits_a^{a + T} {f\left( t \right)dt} = \int\limits_a^0 {f\left( t \right)dt + } \int\limits_0^T {f\left( t \right)dt} + \int\limits_T^{a + T} {f\left( t \right)dt} }$

και $\displaystyle{ \int\limits_a^0 {f\left( t \right)dt = \int\limits_{a + T}^T {f\left( {t + T} \right)d\left( {t + T} \right) = - } } \int\limits_T^{a + T} {f\left( t \right)dt} }$

Προφανώς για κάθε άλλη αρχική $\displaystyle{ F\left( x \right) + c }$ έχουμε: $\displaystyle{ F\left( x \right) + c = F\left( {x + T} \right) + c }$

άρα είναι επίσης Τ-περιοδική

Παρατηρήσεις
1. Ο Χρήστος έχει απόλυτα δίκιο… το θέμα με τις αρχικές, τις ολοκληρώσιμες σε συνδυασμό με την συνέχεια επικρατεί ένα μπάχαλο, πρόσφατα διάβαζα ένα βιβλίο του Κυβεντίδη και έχει ένα άλλο ορισμό για την αρχική που διαφέρει με τον ορισμό των άλλων βιβλίων

2. Επίσης η περιοδικότητα της $\displaystyle{ f\left( x \right)\,\,,x \in \Re }$ δηλαδή $\displaystyle{ f\left( {x + T} \right) = f\left( x \right)\,\,,\forall x \in \Re }$ όπου Τ > 0 δεν εξασφαλίζει μόνη της την περιοδικότητα των αρχικών της, πάρτε για παράδειγμα την συνάρτηση $\displaystyle{ f\left( x \right) = \left| {\cos x} \right|\,\,,x \in \Re }$ που είναι π – περιοδική και συνεχής και έχουμε

$\displaystyle{ \int\limits_0^\pi {f\left( t \right)dt} = \int\limits_0^\pi {\left| {\cos t} \right|} dt = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos tdt} + \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\left( { - \cos t} \right)dt} = ... = 2 \ne 0 }$

και οι αρχικές της είναι $\displaystyle{ F\left( x \right) + c = \left( { - 1} \right)^k \sin x + 2k + c }$ όπου $\displaystyle{ k \in Z }$ ,c αυθαίρετη σταθερά και η $\displaystyle{ F\left( x \right) = \int\limits_0^x {\left| {\cos t} \right|dt} \,\,\,\,,x \in \Re }$ είναι αύξουσα συνάρτηση που δεν είναι περιοδική!

Συνεπώς, την f τη θέλουμε συνεχή να καταλάβω;

Περιοδική - Ολοκληρώσιμη

Περιοδική - Ολοκληρώσιμη

Re: Περιοδική - Ολοκληρώσιμη

Re: Περιοδική - Ολοκληρώσιμη

Re: Περιοδική - Ολοκληρώσιμη

Re: Περιοδική - Ολοκληρώσιμη

Re: Περιοδική - Ολοκληρώσιμη

Re: Περιοδική - Ολοκληρώσιμη

Re: Περιοδική - Ολοκληρώσιμη

Re: Περιοδική - Ολοκληρώσιμη

Re: Περιοδική - Ολοκληρώσιμη

Μέλη σε σύνδεση