Παράγουσες συνάρτησης

Ιστοσελίδα · #1

Να βρεθεί το σύνολο των παραγουσών της συνάρτησης :

$f: [0,\frac{\pi}{4}] \rightarrow [0,\frac{\pi}{4}]$

η οποία ικανοποιεί τη σχέση :

$|f(x) - f(y)| \geq |x sin(2x) - y sin(2y)|, \forall x,y \in [0,\frac{\pi}{4}]$

#2

Ονομάζουμε τη δοθείσα σχέση (1). Θέτουμε στην (1), όπου x=0

και $y=\frac {\pi}{2}$ και έχουμε (2) $|f(0)-f(\frac {\pi}{2})|\geq \frac {\pi}{4}$ , αλλά επειδή (3) $f(0),f(\frac {\pi}{4}) \in [0,\frac {\pi}{4}]$ θα έχουμε επίσης (4) $|f(0)-f(\frac {\pi}{4})|\leq\frac {\pi}{4}$ . Από τη (2) και την (4) συμπεραίνουμε ότι $|f(0)-f(\frac {\pi}{4})|=\frac {\pi}{4}$ . Συνεπώς, λόγω της (3) θα έχουμε:ή $f(0)=0,f(\frac {\pi}{4})=\frac {\pi}{4}$ ή $f(0)=\frac {\pi}{4}, f(\frac {\pi}{4})=0$ .
Αν αληθεύει το πρώτο ενδεχόμενο, θέτουμε διαδοχικά στην (1) όπου y=0

και $y=\frac {\pi}{4}$ και βρίσκουμε $f(x)\geq xsin2x, \forall x\in [0,\frac {\pi}{4}]$ και $\frac {\pi}{4}-f(x)\geq \frac {\pi}{4}-xsin2x, \forall x\in [0,\frac{\pi}{4}]$ , δηλαδή $f(x)=xsin2x, \forall x \in [0,\frac {\pi}{4}]$ , οπότε ολοκληρώνοντας (απλή περίπτωση) βρίσκουμε το σύνολο των παραγουσών της

.
Αν αληθεύει το δεύτερο ενδεχόμενο, ακολουθούμε την ίδια διαδικασία βρίσκουμε ότι $f(x)=\frac {\pi}{4}-xsn2x, \forall x \in [0,\frac {\pi}{4}]$ , κ.ο.κ
Φιλικά

Παράγουσες συνάρτησης

Παράγουσες συνάρτησης

Re: Παράγουσες συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση