Αναδρομικό ολοκλήρωμα 1

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #1

Καλησπέρα στη παρέα.

Ας δούμε ένα ολοκλήρωμα με αναδρομικό τύπο.

Την αφορμή την πήρα από έναν μαθητή μου που αν και με τα σημερινά δεδομένα θεωρείται (σχεδόν) άριστος (και κατέχοντας την τεχνική στο κεφάλαιο αυτό) την βρήκε αρκούντως δύσκολη μη μπορώντας να καταλάβει το τι κρύβεται μέσα στην άσκηση αυτή.

Ας την δούμε:

Αν $\displaystyle{{I_\nu } = \int {{x^\nu }\sqrt {\alpha x + \beta } } dx}$ , με $\displaystyle{\nu \in {N^*}}$ και $\displaystyle{\alpha \ne 0}$ , να δειχθεί ότι:
$\displaystyle{\alpha \cdot \left( {2\nu + 3} \right){I_\nu } = 2 \cdot {x^\nu } \cdot \sqrt {{{\left( {\alpha x + \beta } \right)}^3}} - 2\nu \cdot \beta \cdot {I_{\nu - 1}}}$

Θωμάς

mathxl · #2

Θωμά καλό βράδυ
Βρήκα αυτό
$\begin{array}{l} {I_\nu } = \displaystyle \int {{x^\nu }\sqrt {ax + b} dx} = \int {\frac{{{x^\nu }\left( {ax + b} \right)}}{{\sqrt {ax + b} }}dx} = 2\int {{x^{\nu + 1}}{{\left( {\sqrt {ax + b} } \right)}^\prime }dx} + b\int {\frac{{{x^\nu }}}{{\sqrt {ax + b} }}dx} = \\ = \dislaystyle \2{x^{\nu + 1}}\sqrt {ax + b} - 2\left( {\nu + 1} \right)\int {{x^\nu }\sqrt {ax + b} dx} + \frac{{2b}}{a}\int {{x^\nu }{{\left( {\sqrt {ax + b} } \right)}^\prime }dx} = \\ = \displaystyle \2{x^{\nu + 1}}\sqrt {ax + b} - 2\left( {\nu + 1} \right){I_\nu } + \frac{{2b}}{a}{x^\nu }\sqrt {ax + b} - \frac{{2b\nu }}{a}\int {{x^{\nu - 1}}\sqrt {ax + b} dx} = \\ \end{array}$
$\begin{array}{l} = \displaystyle \2{x^{\nu + 1}}\sqrt {ax + b} - 2\left( {\nu + 1} \right){I_\nu } + \frac{{2b}}{a}{x^\nu }\sqrt {ax + b} - \frac{{2b\nu }}{a}{I_{\nu - 1}} \Leftrightarrow \\ \left( {2\nu + 3} \right){I_\nu } = 2{x^{\nu + 1}}\sqrt {ax + b} + \frac{{2b}}{a}{x^\nu }\sqrt {ax + b} - \frac{{2b\nu }}{a}{I_{\nu - 1}} \Leftrightarrow \\ {I_\nu } = \displaystyle \ \frac{{2{x^{\nu + 1}}\sqrt {ax + b} + \frac{{2b}}{a}{x^\nu }\sqrt {ax + b} }}{{2\nu + 3}} - \frac{{2b\nu }}{{a\left( {2\nu + 3} \right)}}{I_{\nu - 1}} \\ \end{array}$

Με λίγη άλγεβρα που δεν έκανα φαντάζομα είναι το ίδιο

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #3

Βασίλη καλησπέρα.
Ναι αυτό είναι.
Ο μαθητής μου, ένας εξαιρετικός μαθητής, που από την Δευτέρα Γυμνασίου τον προετοιμάζω για Μαθηματικό, δεν κάνει τίποτα αν δε μπορεί μέσα από το ζητούμενο να δει το ταξίδι της λύσης.
Δεν μπορούσε να καταλάβει λοιπόν ότι για να συμμετέχουν τα α και β στον αναδρομικό τύπο, έπρεπε με κάποιο τρόπο να βγουν από το ριζικό, κάτι βέβαια που σκέφτηκες εσύ, οπότε μετά έρχεται η παραγοντική κ.τ.λ.
Επειδή έχουμε τελειώσει την ύλη και είμαστε σε σύνθετα πλέον θέματα, και ενώ ξεπέταξε όλα τα αναδρομικά ολοκληρώματα, σε αυτή κόλλησε. Ας του ευχηθούμε από δω να γίνει ένας καλός μαθηματικός.

Θωμάς

#4

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς έγραψε: τα α και β στον αναδρομικό τύπο, έπρεπε με κάποιο τρόπο να βγουν από το ριζικό

Θωμά,

ακριβώς γι΄ αυτό είναι πιο απλό να θέσουμε ax+b = y. Το πρόβλημα τότε ανάγεται σε αναδρομικό τύπο του $\int (y-c)^n \sqrt y dy\,\,$ που είναι ρουτίνα.

Υπόψη το $\sqrt y = (\frac {2}{3}y\sqrt y)^{\prime}\,\,$ θα μας δώσει ένα y που θα το απορροφήσουμε στο $(y-c)^n\,\,$ γράφοντάς το ως y = (y-c) + c.

Για βάλε το μαθητή σου να σκεφτεί σε αυτές τις γραμμές. Είναι σημαντικό να βλέπει κανείς ότι ένα μικρό τέχνασμα μπορεί να μετατρέψει σχετικά πολύπλοκες παραστάσεις σε απλές.

Φιλικά,

Μιχάλης

mathxl · #5

Μοιάζει και με αυτό viewtopic.php?f=54&t=3555

Αναδρομικό ολοκλήρωμα 1

Αναδρομικό ολοκλήρωμα 1

Re: Αναδρομικό ολοκλήρωμα 1

Re: Αναδρομικό ολοκλήρωμα 1

Re: Αναδρομικό ολοκλήρωμα 1

Re: Αναδρομικό ολοκλήρωμα 1

Μέλη σε σύνδεση