Συναρτησιακή σχέση και ολοκλήρωμα

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #1

Μια ακόμη χαριτωμένη
Έστω η συνεχής συνάρτηση $\displaystyle{ f:R \to R }$ με την ιδιότητα $\displaystyle{ \int_x^{x + y} {f(t)dt} = \int_{x - y}^x {f(t)} dt }$ για κάθε $\displaystyle{ x,y \in R }$ . Να δειχθεί ότι η συνάρτηση f είναι σταθερή.

Απάντηση f(y)=f(0)

για κάθε $y \in \mathbb{R}$

#2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ έγραψε:Μια ακόμη χαριτωμένη
Έστω η συνεχής συνάρτηση $\displaystyle{ f:R \to R }$ με την ιδιότητα $\displaystyle{ \int_x^{x + y} {f(t)dt} = \int_{x - y}^x {f(t)} dt }$ για κάθε $\displaystyle{ x,y \in R }$ . Να δειχθεί ότι η συνάρτηση f είναι σταθερή.

Απάντηση f(y)=f(0) για κάθε y στο R.

Έστω $y_{0}<x\in\mathbb{R}$ . Έχουμε:
$\displaystyle f(y_{0})=\lim_{x\to y_{0}}\frac{\displaystyle\int_{y_{0}}^{x}f(t)\,dt}{x-y_{0}}\stackrel{(*)}{=}2\lim_{x\to y_{0}}\frac{\displaystyle\int_{y_{0}}^{\frac{x+y_{0}}{2}}f(t)\,dt}{x-y_{0}}\stackrel{u=t-y_{0}}{=}2\lim_{x\to y_{0}}\frac{\displaystyle\int_{0}^{\frac{x-y_{0}}{2}}f(t)\,dt}{x-y_{0}}\stackrel{DLH}{=}$

$\displaystyle2\lim_{x\to y}\frac{1}{2}f(\frac{x-y_{0}}{2})=f(0)$ .

(*) Από την δοθείσα για $x=\frac{x+y}{2}$ και $y=\frac{x-y}{2}$

mathxl · #3

Εγκυκλοπαιδικά, αν F μια αρχική τότε η ισότητα μετασχηματίζεται στην
$\begin{array}{l} F\left( {x + y} \right) - F\left( x \right) = F\left( x \right) - F\left( {x - y} \right) \Leftrightarrow \\ F\left( x \right) = \frac{{F\left( {x + y} \right) + F\left( {x - y} \right)}}{2} \\ \end{array}$
που είναι η συναρτησιακή εξίσωση του jensen με λύση $\displaystyle{F\left( x \right) = ax + b}$ , άρα $\displaystyle{f\left( x \right) = a}$
ΠΡΟΣΘΗΚΗ: Έγινε μετατροπή της απάντησης σε κώδικα latex (συγκεκριμένα της κόκκινης γραμμής ύστερα από πμ του λογαριασμού Γενικοί Συντονιστές)

#4

Η παραπάνω λύση μου έχει λάθος. Δεν πειράζει την αφήνω. Μια άλλη λύση εδώ.

Συναρτησιακή σχέση και ολοκλήρωμα

Συναρτησιακή σχέση και ολοκλήρωμα

Re: Συναρτησιακή σχέση και ολοκλήρωμα

Re: Συναρτησιακή σχέση και ολοκλήρωμα

Re: Συναρτησιακή σχέση και ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση