Ύπαρξη -c-(8)

#1

΄Εστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ για την οποία ισχύει ότι $:\ \ \displaystyle{{\int_a^b f(t) dt}=\frac{f(a)+f(b)}{2}}\cdot(b-a)$ .

Να αποδείξετε ότι υπάρχει $c\in (a,b)$ τέτοιο ώστε $f(c)-f(a)=f'(c)\cdot(c-a)$

#2

Η f δε μπορεί να είναι ούτε κοίλη ούτε κυρτή γιατί θ ίσχυε μια γνήσια ανισότητα στην $\displaystyle{\int_{a}^{b}{f(t)dt}=\frac{f(a)+f(b)}{2}(b-a)}$ (γνωστή λυκειακή άσκηση)
Τότε θα υπάρχουν 2 // εφαπτόμενες στην $\displaystyle{C_f}$ (εργασία μου "γεωμετρικές συνθήκες κυρτότητας" που ἐχει στο αρχείο του το

)
άρα από το Θ.Flett (που έχει συζητηθεί παλιότερα και το εἰχε προτείνει ο Μπάμπης) ισχύει το ζητούμενο

pastavr · #3

Μία λύση λίγο πιο κοντά στη λογική του Λυκείου
θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{ g\left( x \right) = 2\int_\alpha ^x {f\left( t \right)dt - \left( {x - \alpha } \right)\left( {f\left( \alpha \right) + f\left( x \right)} \right)} {\rm{ }} }$
H

είναι παραγωγίσιμη στο (a,b)

με $\displaystyle{ g{'} \left( x \right) = 2f\left( x \right) - \left( {f\left( \alpha \right) + f\left( x \right)} \right) - \left( {x - \alpha } \right)f{'} \left( x \right) }$
H

ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο [a,b]

, οπότε το ζητούμενο προκύπτει

Φιλικά Παύλος

Ύπαρξη -c-(8)

Ύπαρξη -c-(8)

Re: Ύπαρξη -c-(8)

Re: Ύπαρξη -c-(8)

Μέλη σε σύνδεση