Τριγωνομετρικό πολυώνυμο

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Με αφορμή το
viewtopic.php?f=60&t=56721&p=273127#p273127

Να αποδειχθεί ότι

Αν $T(x)=a_{0}+\sum_{k=1}^{n}a_{k}\cos kx+b_{k}\sin kx$ είναι ένα τριγωνομετρικό πολυώνυμο
( $a_{i},b_{i}\in \mathbb{R}$ )

και $x\in [0,2\pi ]\Rightarrow T(x)=0$

τότε $a_{i}=0,b_{i}=0$

Δίνονται οι τύποι
$2\cos a\cos b=\cos (a+b)+\cos (a-b), 2\sin a\sin b=\cos (a-b)-\cos (a+b)$
$2\cos a\sin b=\sin (a+b)+\sin (b-a)$

#2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Με αφορμή το
viewtopic.php?f=60&t=56721&p=273127#p273127

Να αποδειχθεί ότι

Αν $T(x)=a_{0}+\sum_{k=1}^{n}a_{k}\cos kx+b_{k}\sin kx$ είναι ένα τριγωνομετρικό πολυώνυμο
( $a_{i},b_{i}\in \mathbb{R}$ )

και $x\in [0,2\pi ]\Rightarrow T(x)=0$

τότε $a_{i}=0,b_{i}=0$

Δίνονται οι τύποι
$2\cos a\cos b=\cos (a+b)+\cos (a-b), 2\sin a\sin b=\cos (a-b)-\cos (a+b)$
$2\cos a\sin b=\sin (a+b)+\sin (b-a)$

Εύκολα βλέπεουμε με χρήση την παραπάνω τύπων ότι $\displaystyle{\int _0^{2\pi} \cos ^2 kx \, dx= \pi = \int _0^{2\pi} \sin ^2 kx \, dx }$ και αν $k\ne m$ τότε

$\displaystyle{\int _0^{2\pi} \cos kx \cos mx \, dx= \int _0^{2\pi} \sin kx \sin mx \, dx =0}$

και τέλος $\displaystyle{ \int _0^{2\pi} \cos kx \sin mx \, dx$ για κάθε k,m

(οι τύποι αυτοί είναι κεντρικοί στις σειρές Fourier).

Έτσι

$\displaystyle{0 = \int _0^{2\pi} T^2(x) \, dx = \int _0^{2\pi} \left ( a_{0}+\sum_{k=1}^{n}(a_{k}\cos kx+b_{k}\sin kx )\right )^2 \, dx }$

που με ανάλυση του γινομένου και ολοκλήρωση όρο προς όρο δίνει

$\displaystyle{0 = 2a_{0}^2+\sum_{k=1}^{n}(a_{k}^2 + b_{k}^2)}$

από όπου το ζητούμενο.

#3

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Να αποδειχθεί ότι

Αν $T(x)=a_{0}+\sum_{k=1}^{n}a_{k}\cos kx+b_{k}\sin kx$ είναι ένα τριγωνομετρικό πολυώνυμο
( $a_{i},b_{i}\in \mathbb{R}$ )

και $x\in [0,2\pi ]\Rightarrow T(x)=0$

τότε $a_{i}=0,b_{i}=0$

Άλλος τρόπος (χωρίς τους τύπους αλλά λίγο εκτός σχολικής ύλης).

Έστω $a_n \ne 0$ . Επιλέγουμε $N \in \mathbb N$ τόσο μεγάλο ώστε

$|a_n| n^{4N} > \sum_{k=1}^{n-1}|a_{k}| k ^{4N} \, (*)$ . Αυτό είναι εφικτό αφού για k < n

ισχύει $\displaystyle{\left ( \frac {k}{n} \right ) ^{4N} \to 0}$ καθώς $N\to \infty$ .

Παραγωγίζοντας την υπόθεση

φορές έπεται $\sum_{k=1}^{n}(a_{k}k^{4N}\cos kx+b_{k}k^{4N}\sin kx )=0$

Για x=0

δίνει $\sum_{k=1}^{n}a_{k}k^{4N} =0$ ή $a_{n}n^{4N} =-\sum_{k=1}^{n-1}a_{k}k^{4N}$ , που συγκρούεται με την (*)

.

Άρα τελικά a_n=0

. Όμοια τα υπόλοιπα.

#4

Και αλλιώς, χωρίς παραγώγους ή ολοκληρώματα.

θα χρησιμοποιήσω το γεγονός ότι το $\cos kx$ είναι πολυώνυμο βαθμού

ως προς $\cos x$ και το $\sin kx$ είναι $\sin x$ επί ένα πολυώνυμο βαθμού k-1

ως προς $\cos x$ . Οι αποδείξεις είναι απλές με επαγωγή, αρχίζοντας από τα $\cos 2x = 2 \cos ^2 x -1, \, \sin 2x = 2 \sin x \cos x$ και τα αναπτύγματα $\cos (k+1)x = \cos kx \cos x - \sin kx \sin x, \, \sin (k+1)x = \sin kx \cos x - \cos kx \sin x$ .

Αρχίζουμε δείχνοντας ότι τα a_k=0

.

Έχουμε για $2\pi -x$ στην θέση του

ότι $T(2\pi - x) =0$ που μεταφράζεται (άμεσο) ως $a_{0}+\sum_{k=1}^{n}(a_{k}\cos kx - b_{k}\sin kx)$
Προσθέτοντας κατά μέλη με την $T(x)=a_{0}+\sum_{k=1}^{n}(a_{k}\cos kx+b_{k}\sin kx)$
έπεται

$2a_{0}+2\sum_{k=1}^{n}a_{k}\cos kx = 0$

Θέτωντας κάθε $\cos kx = p_k(c)=$ το πολυώνυμο βαθμού

που αναφερθήκαμε παραπάνω, ως προς $c=\cos x$ έχουμε

$2a_{0}+2\sum_{k=1}^{n}a_{k}p_k(c) = 0$

Αυτό απειρίζεται για άπειρες τιμές του

(όλες με $-1\le c \le 1$ ) από όπου εύκολα συμπεραίνουμε ότι όλοι οι συντελεστές a_k=0

(αρχίζουμε από τον μεγιστοβάθμιο a_n

και πάμε προς τα κάτω).

Εργαζόμαστε με παρόμοιο τρόπο για αυτό που έμεινε, δηλαδή το $T(x)=\sum_{k=1}^{n}b_{k}\sin kx$ , οπότε και b_k=0

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Μετά τις εξαίρετες λύσεις του Μιχάλη θα δώσω μία λύση (η ιδέα είναι ίδια με την πρώτη του λύση)
που θα είναι αναλυτική και θα έχει κάτι θετικό.
Δηλαδή την σχέση που έχουν οι συντελεστές ενός τριγωνομετρικού
πολυωνύμου με τις τιμές του μέσω ολοκληρωμάτων.
Και αυτό προς χάριν των Μαθητών.
Ξαναδιατυπώνω

Αν $T(x)=a_{0}+\sum_{n=1}^{k}a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx$ είναι ένα τριγωνομετρικό πολυώνυμο
( $a_{i},b_{i}\in \mathbb{R}$ )

τότε $a_{0}=\frac{1}{2\pi }\int_{0}^{2\pi }T(x)dx$

$a_{n}=\frac{1}{\pi }\int_{0}^{2\pi }T(x)\cos nxdx,n=1,2,...$

$b_{n}=\frac{1}{\pi }\int_{0}^{2\pi }T(x)\sin nx dx,n=1,2,...$

Δίνονται οι τύποι
$2\cos a\cos b=\cos (a+b)+\cos (a-b), 2\sin a\sin b=\cos (a-b)-\cos (a+b)$
$2\cos a\sin b=\sin (a+b)+\sin (b-a)$

AΠΟΔΕΙΞΗ
Χρειαζόμαστε τα εξής

$\int_{0}^{2\pi }\cos nxdx=\int_{0}^{2\pi }\sin nxdx=0,n=1,2,..$

$\int_{0}^{2\pi }\cos nx\cos mxdx=\int_{0}^{2\pi }\sin nx\sin mxdx$ όταν $n\neq m$

$\int_{0}^{2\pi }\cos nx\sin mxdx=0$

$\int_{0}^{2\pi }(\cos nx)^{2}dx=\int_{0}^{2\pi }(\sin nx)^{2}dx=\pi ,n=1,2,...$

Τα παραπάνω είναι εύκολο να αποδειχθούν χρησιμοποιώντας και τους τριγωνομετρικούς τύπους που παρέθεσα.

Επειδή $\int_{0}^{2\pi }T(x)dx=2\pi a_{0}$ προκύπτει ο τύπος για το $a_{0}$

$\int_{0}^{2\pi }T(x)\cos nxdx=a_{n}\int_{0}^{2\pi }(\cos nx)^{2}dx=a_{n}\pi$ και

παίρνουμε τον τύπο για το $a_{n}$

Όμοια για τα $b_{n}$

Τριγωνομετρικό πολυώνυμο

Τριγωνομετρικό πολυώνυμο

Re: Τριγωνομετρικό πολυώνυμο

Re: Τριγωνομετρικό πολυώνυμο

Re: Τριγωνομετρικό πολυώνυμο

Re: Τριγωνομετρικό πολυώνυμο

Μέλη σε σύνδεση