Τριγωνομετρικό πολυώνυμο
Συντονιστής: R BORIS
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Τριγωνομετρικό πολυώνυμο
Με αφορμή το
viewtopic.php?f=60&t=56721&p=273127#p273127
Να αποδειχθεί ότι
Αν είναι ένα τριγωνομετρικό πολυώνυμο
()
και
τότε
Δίνονται οι τύποι
viewtopic.php?f=60&t=56721&p=273127#p273127
Να αποδειχθεί ότι
Αν είναι ένα τριγωνομετρικό πολυώνυμο
()
και
τότε
Δίνονται οι τύποι
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Τριγωνομετρικό πολυώνυμο
Εύκολα βλέπεουμε με χρήση την παραπάνω τύπων ότι και αν τότεΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Με αφορμή το
viewtopic.php?f=60&t=56721&p=273127#p273127
Να αποδειχθεί ότι
Αν είναι ένα τριγωνομετρικό πολυώνυμο
()
και
τότε
Δίνονται οι τύποι
και τέλος για κάθε
(οι τύποι αυτοί είναι κεντρικοί στις σειρές Fourier).
Έτσι
που με ανάλυση του γινομένου και ολοκλήρωση όρο προς όρο δίνει
από όπου το ζητούμενο.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Παρ Δεκ 09, 2016 9:25 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Τριγωνομετρικό πολυώνυμο
Άλλος τρόπος (χωρίς τους τύπους αλλά λίγο εκτός σχολικής ύλης).ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Να αποδειχθεί ότι
Αν είναι ένα τριγωνομετρικό πολυώνυμο
()
και
τότε
Έστω . Επιλέγουμε τόσο μεγάλο ώστε
. Αυτό είναι εφικτό αφού για ισχύει καθώς .
Παραγωγίζοντας την υπόθεση φορές έπεται
Για δίνει ή , που συγκρούεται με την .
Άρα τελικά . Όμοια τα υπόλοιπα.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Τριγωνομετρικό πολυώνυμο
Και αλλιώς, χωρίς παραγώγους ή ολοκληρώματα.
θα χρησιμοποιήσω το γεγονός ότι το είναι πολυώνυμο βαθμού ως προς και το είναι επί ένα πολυώνυμο βαθμού ως προς . Οι αποδείξεις είναι απλές με επαγωγή, αρχίζοντας από τα και τα αναπτύγματα .
Αρχίζουμε δείχνοντας ότι τα .
Έχουμε για στην θέση του ότι που μεταφράζεται (άμεσο) ως
Προσθέτοντας κατά μέλη με την
έπεται
Θέτωντας κάθε το πολυώνυμο βαθμού που αναφερθήκαμε παραπάνω, ως προς έχουμε
Αυτό απειρίζεται για άπειρες τιμές του (όλες με ) από όπου εύκολα συμπεραίνουμε ότι όλοι οι συντελεστές (αρχίζουμε από τον μεγιστοβάθμιο και πάμε προς τα κάτω).
Εργαζόμαστε με παρόμοιο τρόπο για αυτό που έμεινε, δηλαδή το , οπότε και .
θα χρησιμοποιήσω το γεγονός ότι το είναι πολυώνυμο βαθμού ως προς και το είναι επί ένα πολυώνυμο βαθμού ως προς . Οι αποδείξεις είναι απλές με επαγωγή, αρχίζοντας από τα και τα αναπτύγματα .
Αρχίζουμε δείχνοντας ότι τα .
Έχουμε για στην θέση του ότι που μεταφράζεται (άμεσο) ως
Προσθέτοντας κατά μέλη με την
έπεται
Θέτωντας κάθε το πολυώνυμο βαθμού που αναφερθήκαμε παραπάνω, ως προς έχουμε
Αυτό απειρίζεται για άπειρες τιμές του (όλες με ) από όπου εύκολα συμπεραίνουμε ότι όλοι οι συντελεστές (αρχίζουμε από τον μεγιστοβάθμιο και πάμε προς τα κάτω).
Εργαζόμαστε με παρόμοιο τρόπο για αυτό που έμεινε, δηλαδή το , οπότε και .
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Τριγωνομετρικό πολυώνυμο
Μετά τις εξαίρετες λύσεις του Μιχάλη θα δώσω μία λύση (η ιδέα είναι ίδια με την πρώτη του λύση)
που θα είναι αναλυτική και θα έχει κάτι θετικό.
Δηλαδή την σχέση που έχουν οι συντελεστές ενός τριγωνομετρικού
πολυωνύμου με τις τιμές του μέσω ολοκληρωμάτων.
Και αυτό προς χάριν των Μαθητών.
Ξαναδιατυπώνω
Αν είναι ένα τριγωνομετρικό πολυώνυμο
()
τότε
Δίνονται οι τύποι
AΠΟΔΕΙΞΗ
Χρειαζόμαστε τα εξής
όταν
Τα παραπάνω είναι εύκολο να αποδειχθούν χρησιμοποιώντας και τους τριγωνομετρικούς τύπους που παρέθεσα.
Επειδή προκύπτει ο τύπος για το
και
παίρνουμε τον τύπο για το
Όμοια για τα
που θα είναι αναλυτική και θα έχει κάτι θετικό.
Δηλαδή την σχέση που έχουν οι συντελεστές ενός τριγωνομετρικού
πολυωνύμου με τις τιμές του μέσω ολοκληρωμάτων.
Και αυτό προς χάριν των Μαθητών.
Ξαναδιατυπώνω
Αν είναι ένα τριγωνομετρικό πολυώνυμο
()
τότε
Δίνονται οι τύποι
AΠΟΔΕΙΞΗ
Χρειαζόμαστε τα εξής
όταν
Τα παραπάνω είναι εύκολο να αποδειχθούν χρησιμοποιώντας και τους τριγωνομετρικούς τύπους που παρέθεσα.
Επειδή προκύπτει ο τύπος για το
και
παίρνουμε τον τύπο για το
Όμοια για τα
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες