ορια

[teo]

Eστω συναρτηση φ:R->R για την οποια τα ορια :της φ και της κ-οστης παραγωγου της για καποιο φυσικο κ ,ειναι στο απειρο ισα με μηδεν. Να δειξετε οτι και τα ορια της πρωτης ,δευτερης ,τριτης ,.....,κ-1 παραγωγου της στο απειρο ειναι επισης μηδεν.

[Ανδρέας Πούλος]

Η εικασία αυτή είναι λανθασμένη.
Θεωρούμε το ακόλουθο αντιπαράδειγμα:
.
Η συνάρτηση αυτή είναι ορισμένη σε όλο το R, από την δεύτερη παράγωγο και μετά όλες οι παράγωγες συναρτήσεις έχουν όριο το 0, όταν το x τείνει στο άπειρο (είτε συν είτε πλην άπειρο) και όμως η πρώτη παράγωγος έχει όριο το άπειρο και όχι το μηδέν.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

[manos1992]

νομίζω το αντιπαράδειγμα είναι λανθασμένο διότι η f έχει όριο ενώ η εκφώνηση υποθέτει πως έχει όριο 0

[dement]

Εστω . Εχουμε, απο θ. Taylor, οτι:

, με .

Το αριστερο μελος και ο τελευταιος ορος τεινουν στο καθως , οποτε το ιδιο ισχυει και για το αθροισμα.

Ετσι, αφου ο ειναι τυχαιος πραγματικος, επεται οτι καθε παραγωγος τεινει στο .

Δημητρης Σκουτερης

[manos1992]

Το αριστερο μελος και ο τελευταιος ορος τεινουν στο 0 καθως x \to +\infty, οποτε το ιδιο ισχυει και για το αθροισμα.

Ετσι, αφου ο p ειναι τυχαιος πραγματικος, επεται οτι καθε παραγωγος τεινει στο 0.

Κύριε Δημήτρη πως από το ότι το όριο του αθροίσματος είναι 0 προκύπτει πως ολοι οι όροι του αθροίσματος έχουν όριο 0;;

[manos1992]

Ας κάνω μια εικασία της οποίας η ισχύς αν αποδειχθεί η απόδειξη τελειώνει γρήγορα...

Αν f παραγωγίσιμη στο R και έχει ασύμπωτη στο την
τότε

(δεν κατάφερα μέχρι στιγμής να το αποδείξω ή να το απορρίψω)

[R BORIS]

Δεν σωστό πχ
όμως αν η f ήταν κοίλη ή κυρτή τότε θα ίσχυε

[manos1992]

έχετε δίκιο κύριε Ροδολφε..άρα αποτυχής η προσπάθεια..

[dement]

Το αριστερο μελος και ο τελευταιος ορος τεινουν στο 0 καθως x \to +\infty, οποτε το ιδιο ισχυει και για το αθροισμα.

Ετσι, αφου ο p ειναι τυχαιος πραγματικος, επεται οτι καθε παραγωγος τεινει στο 0.

Κύριε Δημήτρη πως από το ότι το όριο του αθροίσματος είναι 0 προκύπτει πως ολοι οι όροι του αθροίσματος έχουν όριο 0;;

Το αθροισμα εχει οριο για οποιοδηποτε . Ετσι, μπορουμε παντα να παρουμε καταλληλους γραμμικους συνδυασμους απομονωνοντας καθε ορο του αθροισματος ξεχωριστα.

Π.χ., εστω . Τοτε, για καθε , το αθροισμα τεινει στο . Παιρνοντας και , προσθετοντας και αφαιρωντας κατα μελη, εχουμε το αποτελεσμα μας.

Δημητρης Σκουτερης

[manos1992]

Έχετε δίκιο, δεν πρόσεξα ότι μπορεί να γίνει αυθαίρετη επιλογή των p αφού είναι τυχόντας πραγματικός...θαυμάσια αποδειξη!(αν και οχι ιδιαίτερα κοντά στο φάκελο που βρισκεται)