Ισότητα και εμβαδόν

Συντονιστής: R BORIS

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1299
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Ισότητα και εμβαδόν

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Τρί Ιαν 02, 2018 10:30 am

Χρόνια πολλά σε όλους

Να αποδείξετε ότι : \displaystyle \int\limits_{0}^{1}{{{e}^{-{{x}^{2}}}}}dx+\int\limits_{1}^{1/e}{\sqrt{\ln \left( \frac{1}{x} \right)}dx=\frac{1}{e}}
Δώστε και μια γεωμετρική ερμηνεία και ένα σχήμα .


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1417
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Ισότητα και εμβαδόν

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Τρί Ιαν 02, 2018 11:29 am

exdx έγραψε:
Τρί Ιαν 02, 2018 10:30 am
Χρόνια πολλά σε όλους

Να αποδείξετε ότι : \displaystyle \int\limits_{0}^{1}{{{e}^{-{{x}^{2}}}}}dx+\int\limits_{1}^{1/e}{\sqrt{\ln \left( \frac{1}{x} \right)}dx=\frac{1}{e}}
Δώστε και μια γεωμετρική ερμηνεία και ένα σχήμα .
...Καλημέρα :santalogo: και καλή χρονιά σε όλους

Θεωρώντας την συνάρτηση f(x)={{e}^{-{{x}^{2}}}},\,\,x\in [0,\,1] αυτή είναι παραγωγίσιμη με

{f}'(x)=-2x{{e}^{-{{x}^{2}}}}<,\,\,x\in (0,\,1)άρα γνήσια φθίνουσα στο [0,\,1], επομένως και '1-1' άρα αντιστρέψιμη με

{{f}^{-1}}:f([0,\,1])\to [0,\,1] και f([0,\,1])=[f(1),\,f(0)]=[\frac{1}{e},\,1] έτσι {{f}^{-1}}:[\frac{1}{e},\,1])\to [0,\,1]

και τύπο που προκύπτει από την επίλυση της εξίσωσης f(x)=y\Leftrightarrow {{e}^{-{{x}^{2}}}}=y,\,\,x\in [0,\,1] και y\in [\frac{1}{e},\,1]

που ισοδύναμα έχουμε \ln {{e}^{-{{x}^{2}}}}=\ln y\Leftrightarrow -{{x}^{2}}=\ln y\Leftrightarrow {{x}^{2}}=-\ln y\Leftrightarrow

{{x}^{2}}=\ln {{y}^{-1}}\Leftrightarrow x=\sqrt{\ln \frac{1}{y}}={{f}^{-1}}(y)

{{f}^{-1}}(x)=\sqrt{\ln \frac{1}{x}},\,\,\,x\in [\frac{1}{e},\,1] και τότε το ζητούμενο γίνεται \int\limits_{0}^{1}{f(x)}dx+\int\limits_{f(0)}^{f(1)}{{{f}^{-1}}(x)dx=\frac{1}{e}}(1)

Τώρα αν {{f}^{-1}}(x)=u\Leftrightarrow x=f(u) και dx={f}'(u)du με x=f(1)\to u=1,\,\,\,x=f(0)\to u=0 έχουμε

\int\limits_{f(0)}^{f(1)}{{{f}^{-1}}(x)dx=\int\limits_{0}^{1}{u{f}'(u)du=\left[ uf(u) \right]_{0}^{1}-}}\int\limits_{0}^{1}{f(u)du}\Leftrightarrow
\displaystyle \int\limits_{0}^{1}{f(u)du}+\int\limits_{f(0)}^{f(1)}{{{f}^{-1}}(x)dx=f(1)}=\frac{1}{e} που είναι αυτό που θέλαμε...

...έτοιμο και το σχήμα..

ΙΣΟΤΗΤΑ ΜΕ ΕΜΒΑΔΟ.jpg
ΙΣΟΤΗΤΑ ΜΕ ΕΜΒΑΔΟ.jpg (22.19 KiB) Προβλήθηκε 154 φορές

Τώρα σύμφωνα με το σχήμα το άθροισμα \int\limits_{0}^{1}{f(x)}dx+\int\limits_{f(0)}^{f(1)}{{{f}^{-1}}(x)dx=}\int\limits_{0}^{1}{f(x)}dx-\int\limits_{f(1)}^{f(0)}{{{f}^{-1}}(x)dx}

δηλαδή είναι το εμβαδό του χωρίου μεταξύ της {{C}_{f}},\,\,{x}'x,\,x=0,\,\,x=1δηλαδή του χωρίου ABOZ μείον το εμβαδό του χωρίου

μεταξύ της {{C}_{{{f}^{-1}}}},\,\,{x}'x,\,x=\frac{1}{e},\,\,x=1 δηλαδή του χωρίου AEB\Delta που λόγω συμμετρίας ως προς την y=x

είναι ίσο με το εμβαδό του χωρίου ΑΓΖ που δίνει το εμβαδό του ορθογωνίου AB{\mathrm O}\Gamma

που είναι ίσο με ({\mathrm O}\Beta )({\mathrm O}\Gamma )=1\,\frac{1}{e}=\frac{1}{e}

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: kritonios και 1 επισκέπτης