Ασκηση

#1

Αν $\displaystyle{f:R\to R}$ παραγωγίσιμη και $\displaystyle{xf(x)+\int_{0}^{x-1}{f(x-t)dt}=f'(x) ,x\in R}$ τότε
1.υπάρχει η $\displaystyle{f''}$ στο R
2.υπάρχει $\displaystyle{x_0:f''(x_0)=f(1)+\int_{0}^{1}{f(t)dt}}$
3. $\displaystyle{f(0)=f(1)}$
4.αν υπάρχει $\displaystyle{a:f'(a)=0}$ τότε $\displaystyle{(a^2+1)f(a)=f(0)}$
5. Να βρεθεί η f
(απο μαθητή απορία)

Math Rider · #2

Μια λύση για τα 4 πρώτα ερωτήματα, στην ωραία αυτή άσκηση του κυρίου Μπόρη στο συνημμένο.

mathxl · #3

Μία λύση
ι.
Αλλάχζουμε μεταβλητή στο ολοκλήρωμα x-t=u και παίρνουμε
$\displaystyle{xf(x) - \int\limits_x^1 {f(u)du} = f'(x) \Leftrightarrow xf\left( x \right) + \int\limits_1^x {f\left( t \right)dt} = f'\left( x \right)}$
Επειδή η f είναι συνεχής στο R θα είναι και συνεχής άρα η συνάρτηση ολοκλήρωμα, θα είναι παραγωγίσιμη. Άρα το πρώτο μέλος είναι παραγωγίσιμο οπότε η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη
ιι.
Για x=1
$\displaystyle{f'\left( 1 \right) = f\left( 1 \right)}$
Για χ=0
Αφαιρούμε κατά μέλη
$\displaystyle{f'\left( 1 \right) - f'\left( 0 \right) = f\left( 1 \right) + \int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} \Rightarrow f''\left( {{x_0}} \right) = f\left( 1 \right) + \int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} }$
από το ΘΜΤ στο [0,1] για την f'
ιιι.
Δουλεύουμε λίγο παραπάνω την σχέση στο (ι) λίγο παραπάνω
$\displaystyle{{\left[ {x\int\limits_1^x {f\left( t \right)dt} } \right]^\prime } = f'\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = x\int\limits_1^x {f\left( t \right)dt} + c}$
Από για χ=0 και 1 διαδοχικά βρίσκουμε $\displaystyle{f\left( 0 \right) = f\left( 1 \right) = c}$
ιv.
Από Ρολ στο [0,1] υπάρχει τουλάχιστον ένα α τέτοιο ώστε να ισχύει
$\displaystyle{f'\left( \alpha \right) = 0 \Leftrightarrow \alpha f\left( \alpha \right) + \int\limits_1^\alpha {f\left( t \right)dt} = 0 \Leftrightarrow \int\limits_1^\alpha {f\left( t \right)dt} = - \alpha f\left( \alpha \right)}$
Για χ= α στον τύπο της f έχουμε
$\displaystyle{f\left( \alpha \right) = \frac{c}{{1 + {\alpha ^2}}}}$
Για χ = 0 στον τύπο της f βρίσκουμε c=f(0) δηλαδή αίρνουμε το ζητούμενο
v.
Δουλεόυμε και αλλο την σχέση μας και αίρνουμε
$\displaystyle{f\left( x \right) - x\int\limits_1^x {f\left( t \right)dt} = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow }$
$\displaystyle{{e^{\frac{{{x^2}}}{2}}}{\left( {\int\limits_1^x {f\left( t \right)dt} } \right)^\prime } - x{e^{\frac{{{x^2}}}{2}}}\int\limits_1^x {f\left( t \right)dt} = f\left( 0 \right){e^{\frac{{{x^2}}}{2}}} \Leftrightarrow }$
$\displaystyle{\frac{{{e^{\frac{{{x^2}}}{2}}}{{\left( {\int\limits_1^x {f\left( t \right)dt} } \right)}^\prime } - {{\left( {{e^{\frac{{{x^2}}}{2}}}} \right)}^\prime }\int\limits_1^x {f\left( t \right)dt} }}{{{{\left( {{e^{\frac{{{x^2}}}{2}}}} \right)}^2}}} = f\left( 0 \right){e^{ - \frac{{{x^2}}}{2}}} \Leftrightarrow }$
$\displaystyle{{\left[ {\frac{{\int\limits_1^x {f\left( t \right)dt} }}{{{e^{\frac{{{x^2}}}{2}}}}}} \right]^\prime } = {\left( {f\left( 0 \right)\int\limits_1^x {{e^{ - \frac{{{t^2}}}{2}}}dt} } \right)^\prime }}$
$\displaystyle{\frac{{\int\limits_1^x {f\left( t \right)dt} }}{{{e^{\frac{{{x^2}}}{2}}}}} = f\left( 0 \right)\int\limits_1^x {{e^{ - \frac{{{t^2}}}{2}}}dt} + k}$
Για χ = 1 βρίσκουμε k=0
Ισοδύναμα λοιπόν βρίσκουμε
$\displaystyle{\int\limits_1^x {f\left( t \right)dt} = f\left( 0 \right){e^{\frac{{{x^2}}}{2}}}\int\limits_1^x {{e^{ - \frac{{{t^2}}}{2}}}dt} }$
Παραγωγίζοντας βρίσκουμε
$\displaystyle{f\left( x \right) = f\left( 0 \right)x{e^{\frac{{{x^2}}}{2}}}\int\limits_1^x {{e^{ - \frac{{{t^2}}}{2}}}dt} + f\left( 0 \right)}$

Ασκηση

Ασκηση

Re: Ασκηση

Re: Ασκηση

Μέλη σε σύνδεση