Ολ(ε)οκλήρωμα

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #1

Καλημέρα,
Αφού έπεσα πάνω στις καλοκαιρινές περιπλανήσεις του mathxl και μιας και του χρωστώ το κέρασμα, ας δούμε κάτι διαφορετικό με συμμετρίες, (που αρέσουν στο Βασίλη), και ελπίζω να μην πέσω πάλι σε κάποια άλλη περιπλάνησή του.

Αν είναι γνωστό ότι η γραφική παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης f έχει κέντρο συμμετρίας το σημείο Μ(λ,0) να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα:
$\displaystyle{\int_{\lambda - x}^{\lambda + x} {f(t)dt} }$ , $\displaystyle{x \in \mathbb{R}}$

Για τα υπόλοιπα τη Τετάρτη το βράδυ.
Θωμάς

mathxl · #2

Απάντηση : 0 όσο και τα γκολ σας στην τούμπα

Την απόδειξη την αφήνω ως άσκηση. Αν δεν δοθεί λύση θα δώσω μία

#3

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς έγραψε:Καλημέρα,
Αφού έπεσα πάνω στις καλοκαιρινές περιπλανήσεις του mathxl και μιας και του χρωστώ το κέρασμα, ας δούμε κάτι διαφορετικό με συμμετρίες, (που αρέσουν στο Βασίλη), και ελπίζω να μην πέσω πάλι σε κάποια άλλη περιπλάνησή του.

Αν είναι γνωστό ότι η γραφική παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης f έχει κέντρο συμμετρίας το σημείο Μ(λ,0) να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα:
$\displaystyle{\int_{\lambda - x}^{\lambda + x} {f(t)dt} }$ , $\displaystyle{x \in \mathbb{R}}$

Για τα υπόλοιπα τη Τετάρτη το βράδυ.
Θωμάς

$\displaystyle{I=\displaystyle{\int_{\lambda - x}^{\lambda + x} {f(t)dt} }\stackrel{t=y+\lambda}{=}\int_{-x}^{x}f(y+\lambda)\,dy\stackrel{f(\lambda+y)=-f(\lambda-y)}{=}\int_{-x}^{x}-f(\lambda-y)\,dy\stackrel{\lambda-y=u}{=}\int_{\lambda + x}^{\lambda - x} {f(u)du}=-I}$ .

Συνεπώς $\displaystyle{I=\sqrt{2}\frac{e^{\pi/2}}{0.\overline{123}}}$

mathxl · #4

Να βρείτε την τιμή του α ώστε το ολοκλήρωμα να μςγιστοποιείται
$\displaystyle\int_{a-1}^{a+1}e^{-(x-1)^{2}}$

mathxl · #5

Αν

τέτοια ώστε f'(2)=1

τότε να υπολογίσετε το $\int_{2-\pi}^{2+\pi}f(x)\sin\left(\frac{x}{2}-1\right) dx$

mathxl · #6

Επαναφορά αυτών των δύο ασκήσεων που προέκυψαν από φιλικές αβρότητες!

dennys · #7

Για την πρώτη του Βασίλη .......

παίρνω συνάρτηση $f(x)=\int_{x-1}^{x+1}e^{-(t-1)^2}dt$ τοτε $f{'}(x)=e^{-x^2}-e^{-(x-2)^2}$

και $f{'}(x)=0\Rightarrow x^2=(x-2)^2\Rightarrow x=1$ και $x>1\Rightarrow 4x>4\Rightarrow x^2>x^2-4x+4\Rightarrow x^2>(x-2)^2$

$-(x)^2<-(x-2)^2\Rightarrow e^{-x^2}<e^{-(x-2)^2}\Rightarrow f(x)\searrow$ και όμοια $f(x)\nearrow$ για x<1

δηλ

για x=1

έχουμε μέγιστο.

Ετσι a=1

dennys

#8

...και για την δεύτερη του Βασίλη...

Είναι $I=\int_{2-\pi }^{2+\pi }{f}(x)\sin \left( \frac{x}{2}-1 \right)dx=-2\int_{2-\pi }^{2+\pi }{f}(x){{\left( \cos \left( \frac{x}{2}-1 \right) \right)}^{\prime }}dx=$

$=-2\left[ f(x)\cos \left( \frac{x}{2}-1 \right) \right]_{2-\pi }^{2+\pi }+2\int\limits_{2-\pi }^{2+\pi }{{f}'(x)\cos \left( \frac{x}{2}-1 \right)}dx=$

$=4\int\limits_{2-\pi }^{2+\pi }{{f}'(x){{\left( \sin \left( \frac{x}{2}-1 \right) \right)}^{\prime }}}dx=4\left[ {f}'(x)\sin \left( \frac{x}{2}-1 \right) \right]_{2-\pi }^{2+\pi }-4\int\limits_{2-\pi }^{2+\pi }{{f}''(x)\sin \left( \frac{x}{2}-1 \right)}dx$

Τώρα επειδή {f}'(x)=2ax+b

με

και

θα είναι

$\left[ {f}'(x)\sin \left( \frac{x}{2}-1 \right) \right]_{2-\pi }^{2+\pi }={f}'(2+\pi )\sin \frac{\pi }{2}-{f}'(2-\pi )\sin (-\frac{\pi }{2})={f}'(2+\pi )+{f}'(2-\pi )=$

$2a(2+\pi )+b+2a(2-\pi )+b=2(4a+b)=2$

Και $\int\limits_{2-\pi }^{2+\pi }{{f}''(x)\sin \left( \frac{x}{2}-1 \right)}dx=2a\int\limits_{2-\pi }^{2+\pi }{\sin \left( \frac{x}{2}-1 \right)}dx=-4a\left[ \cos \left( \frac{x}{2}-1 \right) \right]_{2-\pi }^{2+\pi }=0$

Αρα I=2

...τις πράξεις μου τσεκάρω....
Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Ολ(ε)οκλήρωμα

Ολ(ε)οκλήρωμα

Re: Ολ(ε)οκλήρωμα

Re: Ολ(ε)οκλήρωμα

Re: Ολ(ε)οκλήρωμα

Re: Ολ(ε)οκλήρωμα

Re: Ολ(ε)οκλήρωμα

Re: Ολ(ε)οκλήρωμα

Re: Ολ(ε)οκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση