όριο

mathxl · #1

Αν f μη αρνητική ώστε να ισχύει $\displaystyle\int_0^{f\left( x \right)} {\frac{{{e^t} - 1}}{{1 + {e^t}}}} \;dt = \ln x,x \ge 1$
να υπολογίσετε το όριο $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {f\left( x \right) - \ln x} \right)$
(εφόσον υπάρχει)

GMANS · #2

ΔΗΜΟΣΙΕΥΣΗ 5.pdf: (54.59 KiB) Μεταφορτώθηκε 87 φορές

mathxl · #3

Ευχαριστώ για την λύση και τον χρόνο σου!
Μία άλλη αντιμετώπιση
$\displaystyle{f\left( x \right) - \ln x = \int\limits_0^{f\left( x \right)} {dt} - \int\limits_0^{f\left( x \right)} {\frac{{{e^t} - 1}}{{1 + {e^t}}}} \:dt = \int\limits_0^{f\left( x \right)} {\frac{{1 + {e^t} - {e^t} + 1}}{{1 + {e^t}}}} \:dt = 2\int\limits_0^{f\left( x \right)} {\frac{1}{{1 + {e^t}}}} \:dt = }$
$\displaystyle{ = 2\int\limits_0^{f\left( x \right)} {\frac{{{e^{ - t}}}}{{1 + {e^{ - t}}}}} \:dt = - 2\int\limits_0^{f\left( x \right)} {\frac{{{{\left( {1 + {e^{ - t}}} \right)}^\prime }}}{{1 + {e^{ - t}}}}} \:dt = - 2\left[ {\ln \left( {1 + {e^{ - t}}} \right)} \right]_0^{f\left( x \right)} = }$
$\displaystyle{ = - 2\ln \left( {1 + {e^{ - f\left( x \right)}}} \right) + 2\ln 2}$
$\displaystyle{{f\left( x \right) - \ln x \ge - 2{e^{ - f\left( x \right)}} + 2\ln 2 \ge - 2 + 2\ln 2 \Rightarrow f\left( x \right) \ge \ln x - 2 + 2\ln 2}}$
Από την οποία παίρνουμε ότι $\displaystyle{{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty }}$
Άρα
$\displaystyle{{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {f\left( x \right) - \ln x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ { - 2\ln \left( {1 + {e^{ - f\left( x \right)}}} \right) + 2\ln 2} \right] = - 2\ln 1 + 2\ln 2 = 2\ln 2}}$

Το θέμα είναι μια παραλλαγή που έκανα στο 2007 Aoyama Gakuin University

όριο

όριο

Re: όριο

Re: όριο

Μέλη σε σύνδεση