Aπόδειξη ανισοτικής σχέσης.

#1

Καλησπέρα σε όλη την εκλεκτή παρέα. Μετά απο οχι και τόσο ευχάριστη παραμονή σε νοσοκομείο του Πειραιά,γύρισα
σπίτι και μου...γυάλισε η παρακάτω άσκηση.(Αυριο και μεθαύριο που θα χρειαστεί να κάτσω και βράδυ, θα έχω όλο το περιθώριο να διαβάσω και να διαλέξω πολύ καλές ασκήσεις γα την παρέα).
Υποθέτουμε οτι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [0,+00) με συνεχή παράγωγο και f(0)=0, 0<f'(x)<=1.
Nα αποδείξετε οτι :
$\displaystyle{\displaystyle \left( {\int\limits_0^x {f(t)dt} } \right)^2 \geqslant \int\limits_0^x {f^3 (t)dt} ,\forall x \geqslant 0 }$ .

#2

Ορίζουμε τη συνάρτηση $G(x)=\left(\displaystyle\int_0^x f(t)dt \right)^2-\displaystyle\int_0^xf^3(t)dt$ η οποία έχει παράγωγο

$G^{\prime}(x)=f(x)\left(2\displaystyle\int_0^x f(t)dt-f^2(x)\right)$

Η συνάρτηση $H(x)=2\displaystyle\int_0^x f(t)dt-f^2(x)$ είναι παραγωγίσιμη με παράγωγο $H^{\prime}(x)=2f(x)\left(1-f^{\prime}(x)\right) \geq 0$ .

Άρα η συνάρτηση

είναι αύξουσα για $x\in[0,+\infty)$ , άρα τελικά $G^{\prime}(x) \geq 0$ οπότε η συνάρτηση

είναι αύξουσα για $x\in[0,+\infty)$ κι έτσι για $x\geq 0$ έχουμε $G(x)\geq G(0)=0$ κι έτσι έχουμε τη ζητούμενη.

Αλέξανδρος

#3

Eυχαριστώ Αλέξανδρε!!

#4

Χρήστο πού χρειάζεται η υπόθεση ότι η f έχει συνεχή παράγωγο? Έχεις κάποια άλλη λύση υπόψη σου?

Αλέξανδρος

#5

Τώρα Αλέξανδρε οχι.

Aπόδειξη ανισοτικής σχέσης.

Aπόδειξη ανισοτικής σχέσης.

Re: Aπόδειξη ανισοτικής σχέσης.

Re: Aπόδειξη ανισοτικής σχέσης.

Re: Aπόδειξη ανισοτικής σχέσης.

Re: Aπόδειξη ανισοτικής σχέσης.

Μέλη σε σύνδεση