Μία απο την τάξη.

#1

Την κάναμε με τους μαθητές μου πριν λίγο καιρό. Οι βασικές της ιδέες είναι διαδεδομένες και τις έχω συναντήσει με τη μία ή την άλλη μορφή εδώ και κει. Υπάρχει μία σταθερή προτίμηση (τα παραδείγματα από θέματα εξετάσεων είναι πάμπολλα) σε συναρτήσεις που ορίζονται με πεπλεγμένη μορφή και ο τύπος τους ή δε μπορεί να βρεθεί ή βρίσκεται δύσκολα. Μία τέτοια είναι και η επόμενη. Νομίζω ότι σαν σύνθεση είναι αρκετά διδακτική:

Α. Να αποδέιξετε ότι για κάθε $x \in \mathbb{R}$ υπάρχει ακριβώς ένα y έτσι ώστε $y^{3}+y=e^{x}+x$
Β. H συνάρτηση

ορίζεται από τη σχέση
$f^{3}\left( x\right) +f\left( x\right) =e^{x}+x\,\,\,\,\,x \in \mathbb{R}$
Nα αποδείξετε ότι:
1. Για κάθε $x_{0}$ ισχύει
$\displaystyle f\left( x\right) -f\left( x_{0}\right) =\frac{1}{f^{2}\left( x\right) +f\left( x\right) f\left( x_{0}\right) +f^{2}\left( x_{0}\right) +1}\left( \left( e^{x}+x\right) -\left( e^{x_{0}}+x_{0}\right) \right)$
2. Για κάθε $x_{0}$ ισχύει $\left| f\left( x\right) -f\left( x_{0}\right) \right| <\left| e^{x}+x-e^{x_{0}}-x_{0}\right|$
3. Η

είναι συνεχής.
4. Η

είναι παραγωγίσιμη και ισχύει $f^{\prime }\left( x\right) =\frac{e^{x}+1}{3f^{2}\left( x\right) +1}$ .
5. Η

είναι γνησίως αύξουσα και το σύνολο τιμών της είναι το $\mathbb{R}$ .

Μαυρογιάννης

paganini · #2

Κυριε Μαυρογιαννη μόλις πριν 10 λεπτα την ελυνα απτο φυλλάδιό σας!Τρομερη συμπτωση.
Μακαρι να μπορουσα να γραψω μια λυση με latex αλλα ειμαι ανεπιδεκτος μαθησεως!Δεν μπορεσα να δειξω οτι συνολο τιμων ειναι το R.

#3

Eστω

προφανως

γν.αυξουσα με πεδιο ορισμου και πεδιο τιμων το $\mathbb R$ .
H A(x)

εχει αντιστροφη με πεδιο ορισμου και πεδιο τιμων το $\mathbb R$ και γν.αυξουσα .

εχουμε Α(f(x))=e^x+x

οποτε $f(x)=A^{-1}(e^x+x)$
Αρα η

εχει πεδιο τιμων το $\mathbb R$
Σχολιο:
$x_1<x_2\Rightarrow {e^{{x_1}}} + {x_1} < {e^{{x_2}}} + {x_2}$

ομως ${A^{ - 1}}$ γν.αυξουσα αρα και η

γν.αυξουσα
και βεβαία λογω της $f(x)=A^{ - 1}}({e^x} + x)$
(συνθεση) προκύπτει άμεσα η συνεχεία και το ότι είναι παραγωγίσιμη

#4

μια σκέψη για το συνολο τιμών θέτω y=f(x)

διοτι

για

Tα υπολοιπα τα κανει το κριτήριο παρεμβολής για x>2 , x<-3

k-ser · #5

Κώστα, Ροδόλφε,
παρουσιάζετε μια διαφορετική της προφανούς προσέγγισης του συνόλου τιμών.
Και θεωρώ προφανή - όχι με την έννοια του απλού, αλλά με τη δομή της άσκησης - την παρακάτω προσέγγιση:

1. Οι συνάρτηση $h(x)=e^x+x, x \in \mathbb{R}$ είναι γνησίως αύξουσα με σύνολο τιμών το $\mathbb{R}$ .

2. Η εξίσωση f(x)=y

είναι ισοδύναμη με την εξίσωση f^3(x)+f(x)=y^3+y

. Η απόδειξη αυτού του ισχυρισμού είναι εύκολη με τη βοήθεια της ταυτότητας: a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

.

3. Η εξίσωση f^3(x)+f(x)=y^3+y

εξ' ορισμού της

είναι ισοδύναμη με την e^x+x=y^3+y

η οποία, από το 1, έχει μοναδική λύση ως προς

για οποιοδήποτε $y \in \mathbb{R}$ .

Άρα το σύνολο τιμών της

είναι το $\mathbb{R}$ .

Υ.Γ.: Νίκο μήπως διατύπωσες "ανάποδα", όσον αφορά τις μεταβλητές, το Α; Όχι γιατί έτσι δεν είναι αληθές, μα για να μας βοηθήσει στο σύνολο τιμών.

#6

Γειά σας και (κάπως καθυστερημένα) καλή Μεγάλη Εβδομάδα

paganini έγραψε: μόλις πριν 10 λεπτα την έλυνα...Τρομερη συμπτωση.

Η ζωή είναι γεμάτη συμπτώσεις. Αν είσαι μαθητής σου εύχομαι καλή επιτυχία στις εξετάσεις! Αν δεν είσαι πάλι σου εύχομαι καλή επιτυχία. (Διάλεξε σε τι!)

Τηλέγραφος Κώστας έγραψε: Eστω προφανως γν.αυξουσα με πεδιο ορισμου και πεδιο τιμων το $\mathbb{R}$ .
H εχει αντιστροφη με πεδιο ορισμου και πεδιο τιμων το $\mathbb{R}$ και γν.αυξουσα .
εχουμε οποτε $f(x)={A^{ - 1}}({e^x} + x)$
Αρα η εχει πεδιο τιμων το $\mathbb{R}$

Κώστα αυτή είναι κατά την γνώμη μου η καλλίτερη αντιμετώπιση (αν και αποφεύγω να την δώσω σαν πρώτη λύση γιατί τα παιδιά δυσκολεύονται με την άλγεβρα των συναρτήσεων). Θα προσέθετα ότι κάπου χρειάζεται το επιχείρημα ότι η ${e^x} + x$ έχει σύνολο τιμών τους πραγματικούς αριθμούς.

Τηλέγραφος Κώστας έγραψε:
Σχολιο:
και βεβαία λογω της $f(x)={A^{ - 1}}({e^x} + x)$
(συνθεση) προκύπτει άμεσα η συνεχεία και το ότι είναι παραγωγίσιμη

Σωστά αλλά αυτές είναι κουβέντες για μας τους μεγάλους. Τα παιδιά δεν μπορούν και δεν πρέπει να αναπτύξουν στις εξετάσεις αυτή την επιχειρηματολογία μιας και δεν υποστηρίζεται από το σχολικό βιβλίο.

R BORIS έγραψε:μια σκέψη για το συνολο τιμών θέτω
διοτι για
για

Tα υπολοιπα τα κανει το κριτήριο παρεμβολής για

Η προσέγγιση σου Ροδόλφε είναι πολύ κοντά σε αυτή που χρησιμοποιώ: Επιλέγω ένα

και ζητώ από τους μαθητές μου να αποδείξουν πρώτα ότι υπάρχει κάποιο

έτσι ώστε $f(x) \leq y$ . Στην ενάντια περίπτωση θα πρέπει $e^{x}+x>y$ για όλα τα

(άτοπο) και ομοίως για την $f(x) \geq y$ . Δηλαδή μα "χτυπήσουν" μία φορά όχι πάνω από το

και μία όχι κάτω από το

. Τα υπόλοιπα ανατίθενται στο θεώρημα ενδιάμεσης τιμής.

k-ser έγραψε: Υ.Γ.: Νίκο μήπως διατύπωσες "ανάποδα", όσον αφορά τις μεταβλητές, το Α; Όχι γιατί έτσι δεν είναι αληθές, μα για να μας βοηθήσει στο σύνολο τιμών.

Κώστα όχι το διατύπωσα έτσι εκ προθέσεως. Το ερώτημα Α. εξασφαλίζει ότι μία τέτοια συνάρτηση υπάρχει. Σε άλλες περιπτώσεις ζητάω από τα παιδιά να αποδείξουν εκ των υστέρων ότι κάποια συνάρτηση που την πιλατεύαμε επί ώρα υπάρχει.

Μαυρογιάννης

k-ser · #7

nsmavrogiannis έγραψε:Το ερώτημα Α. εξασφαλίζει ότι μία τέτοια συνάρτηση υπάρχει.

Νίκο, μπράβο! Δεν το είχα σκεφτεί.

Οι περισσότερες ασκήσεις, οι οποίες δίνουν κάποια σχέση που ικανοποιεί κάποια υποθετική συνάρτηση, δεν έχουν εξασφαλίσει την ύπαρξη μιας τέτοιας συνάρτησης. Νομίζω έχει συμβεί και με θέμα εξετάσεων. Αυτό δεν είναι μαθηματικά ορθό.

Θα μ' άρεσε: να έβαζες, ξεκινώντας το Β., το ερώτημα:
Δείξτε ότι μπορούμε να ορίσουμε συνάρτηση f στο IR,
η οποία να ικανοποιεί την σχέση $f^3(x)+f(x)=e^x+x , \forall x \in \mathbb{R}$
Το οποίο ερώτημα θα είχε την "όμορφη" απάντηση:
Η συνάρτηση f ορίζεται με τον εξής τρόπο: σε κάθε x ε IR αντιστοιχεί το μοναδικό y για το οποίο ισχύει η ισότητα e^x+x=y^3+y

και το οποίο έχει δειχθεί ότι συμβαίνει στο Α.

#8

Kαλημέρα...
Nομίζω πως ο Νίκος υποδεικνύει, με τον τρόπο του πως πρέπει να είναι δοσμένο ένα άψογο απο όλες τις πλευρές του
θέμα.
Η μόδα ''επιτάσσει'' τέτοια θέματα , με κρυφές συναρτήσεις που κάνουν τα χίλια μύρια κόλπα...
Το ερώτημα που θα έπρεπε πρώτα να θέτουμε στον εαυτό μας, ως λύτες είναι: Υπάρχει αλήθεια τέτοια συνάρτηση; (άσχετα αν δεν το κάνουμε, υποθέτουμε
πως το έχει κάνει ο θεματοδότης, αλλά αν δούμε το παρακάτω, θα αλλάξουμε γνώμη!)

Για την ιστορία παραθέτω το θέμα των πανελληνίων του 1997 στην 1η δέσμη, όπου δεν...υπήρχε τελικά η συνάρτηση
που η επιτροπή υπέθετε πως υπάρχει!!
ΕΚΦΩΝΗΣΗ
Υποθέτουμε οτι υπάρχει πραγματική συνάρτηση g, παραγωγίσιμη στο R , τέτοια ώστε , υπάρχει
πραγματικός αριθμός α, ώστε να ισχύει:

$\displaystyle{\displaystyle g(x + y) = e^y g(x) + e^x g(y) + xy + a,\forall x,y \in \mathbb{R} }$ .
Nα αποδείξετε οτι :
1) g(0)=-α

2) $\displaystyle{\displaystyle g^{\prime} (x) = g(x) + g^{\prime} (0)e^x + x,\forall x \in \mathbb{R} }$ .
Και πάλι, καλημέρα σας...

hsiodos · #9

nsmavrogiannis έγραψε:Την κάναμε με τους μαθητές μου πριν λίγο καιρό. Οι βασικές της ιδέες είναι διαδεδομένες και τις έχω συναντήσει με τη μία ή την άλλη μορφή εδώ και κει. Υπάρχει μία σταθερή προτίμηση (τα παραδείγματα από θέματα εξετάσεων είναι πάμπολλα) σε συναρτήσεις που ορίζονται με πεπλεγμένη μορφή και ο τύπος τους ή δε μπορεί να βρεθεί ή βρίσκεται δύσκολα. Μία τέτοια είναι και η επόμενη. Νομίζω ότι σαν σύνθεση είναι αρκετά διδακτική:

Α. Να αποδέιξετε ότι για κάθε $x \in \mathbb{R}$ υπάρχει ακριβώς ένα y έτσι ώστε $y^{3}+y=e^{x}+x$
Β. H συνάρτηση ορίζεται από τη σχέση
$f^{3}\left( x\right) +f\left( x\right) =e^{x}+x\,\,\,\,\,x \in \mathbb{R}$
Nα αποδείξετε ότι:
1. Για κάθε $x_{0}$ ισχύει
$\displaystyle f\left( x\right) -f\left( x_{0}\right) =\frac{1}{f^{2}\left( x\right) +f\left( x\right) f\left( x_{0}\right) +f^{2}\left( x_{0}\right) +1}\left( \left( e^{x}+x\right) -\left( e^{x_{0}}+x_{0}\right) \right)$
2. Για κάθε $x_{0}$ ισχύει $\left| f\left( x\right) -f\left( x_{0}\right) \right| <\left| e^{x}+x-e^{x_{0}}-x_{0}\right|$
3. Η είναι συνεχής.
4. Η είναι παραγωγίσιμη και ισχύει $f^{\prime }\left( x\right) =\frac{e^{x}+1}{3f^{2}\left( x\right) +1}$ .
5. Η είναι γνησίως αύξουσα και το σύνολο τιμών της είναι το $\mathbb{R}$ .

Μαυρογιάννης

Θα ήθελα την άποψή σας για την ορθότητα της παρακάτω αντιμετώπισης του ερωτήματος 5
$f^{3}\left( x\right) +f\left( x\right) =e^{x}+x\,\,\,\,\,x \in \mathbb{R}$ (1)
Η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο $\left(-\propto \,\,, \right+\propto \,\,)$ οπότε έχει σύνολο τιμών το διάστημα $\left(\lim_{x \rightarrow -\propto }f(x), \lim_{x\rightarrow+\propto }f(x)\right)$ , δηλαδή τα όρια $\lim_{x \rightarrow -\propto }f(x), \lim_{x\rightarrow+\propto }f(x)$ υπάρχουν.
Αν $\lim_{x \rightarrow +\propto }f(x)$ = λ , λ πραγματικός τότε από την (1) προκύπτει $\lim_{x\rightarrow +\propto }(e^x+x)= (l^3+l) \in R$ , άτοπο.
Επομένως αναγκαστικά (δεξιό άκρο ανοικτού διαστήματος) $\lim_{x \rightarrow +\propto }f(x)$ = + $\propto$
Με παρόμοιο συλλογισμό δείχνουμε ότι $\lim_{x \rightarrow -\propto }f(x)$ = - $\propto$

Έτσι η f έχει σύνολο τιμών το R .

Γιώργος

#10

Καλή σας μέρα

hsiodos έγραψε:Θα ήθελα την άποψή σας για την ορθότητα της παρακάτω αντιμετώπισης του ερωτήματος 5
$f^{3}\left( x\right) +f\left( x\right) =e^{x}+x\,\,\,\,\,x \in \mathbb{R}$ (1)
Η είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο $\left(-\propto \,\,, \right+\propto \,\,)$ οπότε έχει σύνολο τιμών το διάστημα $\left(\lim_{x \rightarrow -\propto }f(x), \lim_{x\rightarrow+\propto }f(x)\right)$ , δηλαδή τα όρια $\lim_{x \rightarrow -\propto }f(x), \lim_{x\rightarrow+\propto }f(x)$ υπάρχουν.
Αν $\lim_{x \rightarrow +\propto }f(x) = \lambda$ , $\lambda$ πραγματικός τότε από την (1) προκύπτει $\lim_{x\rightarrow +\propto }(e^x+x)= (l^3+l) \in \mathbb{R}$ , άτοπο.
Επομένως αναγκαστικά (δεξιό άκρο ανοικτού διαστήματος) $\lim_{x \rightarrow +\propto }f(x)$ = + $\propto$
Με παρόμοιο συλλογισμό δείχνουμε ότι $\lim_{x \rightarrow -\propto }f(x)$ = - $\propto$
Έτσι η f έχει σύνολο τιμών το $\mathbb{R}$ .
Γιώργος

Η λύση είναι σωστή και γίνεται έξυπνη αξιοποίηση του θεωρήματος της σελίδας 106 του σχολικού. Βέβαια το θεώρημα αναφέρεται σε συναρτήσεις που το πεδίο ορισμού είναι διάστημα με πεπερασμένα άκρα αλλά έχει επικρατήσει να εφαρμόζεται κατ΄αναλογίαν και όταν κάποιο από τα άκρα είναι άπειρο. 'Ετσι και αλλιώς είναι μία πρόταση που δεν συνοδεύεται από απόδειξη.
Μαυρογιάννης

alekos100 · #11

B.

, $x\in R$ (1)

για $x_{0}\in R}$ έχουμε $f^3(x_{0})+f(x_{0})=e^{x_{0}}+x_{0}$

άρα $f^3(x)+f(x)-f^3(x_{0})-f(x_{0})=e^x+x-e^{x_{0}}-x_{0} \Rightarrow$

$f^3(x)-f^3(x_{0})+f(x)-f(x_{0})=e^x+x-e^{x_{0}}-x_{0}\Rightarrow$

$(f(x)-f(x_{0}))(f^2(x)+f(x)f(x_{0})+f^2(x_{0}))+ (f(x)-f(x_{0}))= e^x+x-e^{x_{0}}-x_{0}$

$\Rightarrow (f(x)-f(x_{0}))(f^2(x)+f(x)f(x_{0})+f^2(x_{0})+1)=e^x+x-e^{x_{0}}-x_{0}\Rightarrow$

$f(x)-f(x_{0})=\frac{1}{f^2(x)+f(x)f(x_{0})+f^2(x_{0})+1}(e^x+x-e^{x_{0}}-x_{0})$ (2)

διότι $f^2(x)+f(x)f(x_{0})+f^2(x_{0})+1\geq 1$

$f^2(x)+f(x)f(x_{0})+f^2(x_{0})+1\geq 1\Rightarrow \frac{1}{f^2(x)+f(x)f(x_{0})+f^2(x_{0})+1}\leq 1$

άρα $\left | f(x)-f(x_{0}) \right |=\left | \frac{e^x+x-e^{x_{0}}-x_{0}}{f^2(x)+f(x)f(x_{0})+f^2(x_{0})+1} \right |\leq \left |e^x+x-e^{x_{0}}-x_{0} \right |\Rightarrow$
$f(x_{0})-\left | e^x+x-e^x_{0}-x_{0} \right |\leqslant f(x)\leq f(x_{0})+\left | e^x+x-e^x_{0}-x_{0} \right |$

το κριτήριο παρεμβόλης δίνει $\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})$

δίοτι $\lim_{x\rightarrow x_{0}}\left (f(x_{0})+\left | e^x+x-e^{x_{0}}-x_{0} \right | \right )=f(x_{0})=\lim_{x\rightarrow x_{0}}\left (f(x_{0})-\left | e^x+x-e^{x_{0}}-x_{0} \right |$

Απο (2) $\Rightarrow \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=\frac{e^x+x-e^{x_{0}}-x_{0}}{(x-x_{0})(f^2(x)+f(x)f(x_{0})+f^2(x_{0})+1)}=\frac{\frac{e^x-e^{x_{0}}+x-x_{0}}{x-x_{0}}}{f^2(x)+f(x)f(x_{0})+f^2(x_{0})+1}=$
$\frac{\frac{e^x-e^x_{0}}{x-x_{0}}+1}{f^2(x)+f(x)f(x_{0})+f^2(x_{0})+1}$ , $x\neq x_{0}$

$\lim_{x\rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{\frac{e^x-e^{x_{0}}}{x-x_{0}}+1}{f^2(x)+f(x)f(x_{0})+f^2(x_{0})+1}=\frac{e^{x_{0}}+1}{3f^2(x_{0})+1}$

διότι η

είναι συνεχής και $\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{e^x-e^{x_{0}}}{x-x_{0}}=e^{x_{0}$

$f{}'(x)=\frac{e^x+1}{3f^2(x)+1}>0$ άρα

γνησίως αύξουσα

Θεώρουμε $g(x)=x^{3}+x$ , $g{}'(x)=3x^{2}+1>0$ άρα

γνησίως αύξουσα και g(R)=R

και

, $h{}'(x)=e^x+1>0$ άρα

γνησίως αύξουσα και h(R)=R

οπότε (1) $\Rightarrow g(f(x))=h(x)\Rightarrow f(x)=g^{-1}(h(x)),x\in R$

$f(R)=g^{-1}(h(R))=g^{-1}(R)=D_{g}=R$

Για το Α δεν βρήκα λύση κάποια βοήθεια

Christos.N · #12

alekos100 έγραψε:Για το Α δεν βρήκα λύση κάποια βοήθεια

Υπόδειξη :

Έστω $\displaystyle{{x_0} \in R:{e^{{x_0}}} + {x_0} = a}$ τότε η εξίσωση $\displaystyle{{y^3} + y = a}$ έχει μοναδική λύση καθώς.....

άρα αφού το δείξαμε για τυχαίο $\displaystyle{{x_0} \in R}$ θα ισχύει και για κάθε $\displaystyle{x \in R}$

alekos100 · #13

Aν κατάλαβα σωστά η εξίσωση $y^{3}+y=a$ έχει μοναδική λύση δίοτι
$g(x)=x^{3}+x$ είναι γνησίως αύξουσα και g(R)=R

Ευχαριστώ για την υπόδειξη

Μία απο την τάξη.

Μία απο την τάξη.

Re: Μία απο την τάξη.

Re: Μία απο την τάξη.

Re: Μία απο την τάξη.

Re: Μία απο την τάξη.

Re: Μία απο την τάξη.

Re: Μία απο την τάξη.

Re: Μία απο την τάξη.

Re: Μία απο την τάξη.

Re: Μία απο την τάξη.

Re: Μία απο την τάξη.

Re: Μία απο την τάξη.

Re: Μία απο την τάξη.

Μέλη σε σύνδεση