Συνδυαστικό με απαιτήσεις

thanasis kopadis · #1

Δίνεται μιγαδικός αριθμός $z\in C^*$ και η συνεχής και περιττή συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ για την οποία ισχύει:
$x^3+3\int_{-x}^{x}{\left|z \right|uf(u)du}=3\left|z \right|x^2f(x)$ για κάθε $x\in R$

α) Να βρείτε τον τύπο της

β) Να δείξετε ότι η εξίσωση z^2=-f(1000)

έχει δύο ρίζες z_1,z_2

τις οποίες και να βρείτε.

γ) Θεωρούμε επιπλέον τη συνεχή συνάρτηση $g:\left[\left|z_1 \right| \right,2\left|z_2 \right|]\rightarrow R$ , όπου z_1,z_2

οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος β). Nα αποδείξετε ότι για κάθε ζεύγος διαφορετικών σημείων A,B

της γραφικής παράστασης της

υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο

αυτής, τέτοιο ώστε το τρίγωνο ABC

να είναι ισοσκελές με βάση την

δ) Αν η εικόνα του μιγαδικού

κινείται στον μοναδιαίο κύκλο, να βρείτε το όριο $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\propto }\int_{1}^{x}{\frac{lnt}{f^2(t)}dt}}$

Edit:Ξαναλύνοντας το ερώτημα γ) διαπίστωσα ότι τα δεδομένα που έδινα δεν ήταν απαραίτητα για τη λύση του. Οπότε και τα διέγραψα.

Christos75 · #2

thanasis kopadis έγραψε:Δίνεται μιγαδικός αριθμός $z\in C^*$ και η συνεχής και περιττή συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ για την οποία ισχύει:
$x^3+3\int_{-x}^{x}{\left|z \right|uf(u)du}=3\left|z \right|x^2f(x)$ για κάθε $x\in R$

α) Να βρείτε τον τύπο της

β) Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες τις οποίες και να βρείτε.

Για να δούμε σχετικά γρήγορα τα δύο πρώτα ερωτήματα.

Λύση

α)Μας δίνεται η σχέση $\displaystyle{x^{3}+3\int_{-x}^{x}\mid z \mid \cdot u \cdot f(u)du =3\mid z \mid \cdot x^{2}\cdot f(x), \,\,\,\forall x\in \mathbb{R} (1)}$ και επίσης ότι η εν λόγω συνάρτηση είναι συνεχής και περιττή. Αφού περιττή τότε $\displaystyle{f(-x) =-f(x)\,\,\,(2)}$

Αν $\displaystyle{x=0}$ τότε από (2)

έχουμε ότι $\displaystyle{f(0) =-f(0)\Leftrightarrow 2f(0)=0\Leftrightarrow f(0)=0\,\, (3)}$

Αν $\displaystyle{x>0}$ (με όμοιο τρόπο προκύπτει και για $\displaystyle{x<0}$ )

Τότε θα έχουμε από την (1)

$\displaystyle{x^{3}+3\mid z \mid \int_{-x}^{x}uf(u)du = 3 \mid z \mid x^{2}f(x)\Rightarrow}$

$\displaystyle{x^{3}+3\mid z \mid (\int_{-x}^{0}uf(u)du+\int_{0}^{x}uf(u)du)=3 \mid z \mid x^{2}f(x)\,\,\,(4)}$

παραγωγίζοντας την σχέση (4)

και αξιοποιώντας την σχέση (2)

θα έχουμε :

$\displaystyle{3x^{2}+3 \mid z \mid ((-x)f(-x)(-x)'+xf(x))=3\mid z \mid (x^{2}f(x))'\Rightarrow 3x^{2}+3 \mid z \mid(xf(-x)+xf(x))=3\mid z \mid (x^{2}f(x))'\overset{(2)}{\rightarrow}}$

$\displaystyle{x^{2}+\mid z \mid (-xf(x)+xf(x))=\mid z \mid (x^{2}f(x))'\Rightarrow x^{2}= \mid z \mid (x^{2}f(x))'\Rightarrow}$

$\displaystyle{(\mid z \mid x^{2}f(x))'=(\frac{x^{3}}{3})'\Rightarrow \mid z \mid x^{2}f(x)=\frac{x^{3}}{3}+c,\,\ c\in \mathbb{R}}$

Από (3)

έχω ότι $\displaystyle{f(0)=0}$ και παίρνοντας όρια στην παραπάνω (αφού

συνεχής) έχω ότι

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0^{+}}(\mid z \mid x^{2}f(x))=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}(\frac{x^{3}}{3}+c)\Rightarrow 0 \cdot 0 = 0 +c\Rightarrow c = 0}$

Τα ίδια θα συμβούν αν πάρουμε $\displaystyle{x<0}$ Οπότε τελικά η συνάρτηση που προκύπτει είναι: $\displaystyle{f(x)=\frac{x}{\mid z \mid},}$ αφού

εξ'υποθέσεως $\displaystyle{z\in \mathbb{C^*} }$ και κατά συνέπεια $\displaystyle{\mid z \mid \neq 0}$ Δηλαδή τελικά:

$\displaystyle{f(x)=\frac{x}{\mid z \mid},\,\, x\in \mathbb{R}}$

β) Μας ζητείται να βρούμε της λύσεις της εξίσωσης και έχουμε:

$\displaystyle{z^{2}=-f(1000)\Rightarrow z^{2}=-\frac{1000}{\mid z \mid}\Rightarrow z^{2}=\frac{1000}{\mid z \mid}i^{2}\Rightarrow}$

$\displaystyle{z_{1}=\frac{10\sqrt{10}}{\sqrt{\mid z \mid}}i \,\,\, \vee \,\,\,\, z_{2}=-\frac{10\sqrt{10}}{\sqrt{\mid z \mid}}i}$

μένει μόνο να υπολογίσουμε το μέτρο του μιγαδικού

. Θα το υπολογίσουμε ως εξής:

$\displaystyle{z^{2}=-f(1000)\Rightarrow \mid z^{2} \mid = \mid - f(1000) \mid\Rightarrow \mid z^{2} \mid = \mid f(1000)\mid \Rightarrow }$

$\displaystyle{\mid z \mid^2 = \frac{1000}{\mid z \mid} \Rightarrow \mid z \mid^{3} = 1000\Rightarrow \mid z \mid = 10}$

Συνεπώς οι ζητούμενες ρίζες είναι : $\displaystyle{z_{1}=10 \cdot i \,\,\,\vee \,\,\, z_{2}=-10 \cdot i}$

thanasis kopadis · #3

Μια μικρή διόρθωση στη λύση του φίλου μου του Χρήστου για το ερώτημα β)

β) Είναι $f(1000)=\frac{1000}{\left|z \right|}$ , οπότε η εξίσωση γίνεται:
$z^2+\frac{1000}{\left|z \right|}=0\Leftrightarrow z^2\left|z \right|=-1000$
Θέτω z=a+bi

, άρα η εξίσωση μετά από πράξεις γίνεται: $(a^2-b^2+2abi)\sqrt{a^2+b^2}=-1000$ , από όπου προκύπτει το σύστημα:
$(a^2-b^2)\sqrt{a^2+b^2}=-1000$ και $2ab\sqrt{a^2+b^2}=0$
Η δεύτερη, αφού $z\neq0$ , δίνει a=0

ή

Αν

, από την πρώτη έχουμε $a^2\left|a \right|=-1000$ , αδύνατη.
Άρα z_1=10i , z_2=-10i

.

Christos75 · #4

Έλεγε μία παλιά παροιμία Θανάση, όποιος τη νύχτα περπατεί, λάσπες και ... πατεί!!! Από τότε που η τετραγωνική ρίζα του 1000 κάνει 10 βγαίνουν οι αρκούδες που έγραψα παραπάνω. Δυστυχώς δεν είμαι σε θέση να το αλλάξω διότι δεν είμαι μπροστά σε υπολογιστή τώρα... Θα το κάνω με την πρώτη ευκαιρία! Ζητώ συγγνώμη από όλους τους φίλους για την γκάφα αποτετραγωνισμού!!!

Υ. Γ. Διορθώθηκε επιτέλους Θανάση.

Tolaso J Kos · #5

Για το δ) ερώτημα είναι $|\left z \right|=1$ (καθώς ο μιγαδικός κινείται στον μοναδιαίο κύκλο). Συνεπώς το ζητούμενο όριο είναι $\displaystyle{ lim_{x\rightarrow +\infty }\int_{1}^{x}\frac{lnt}{t^2}dt}$ . Το ολοκλήρωμα υπολογίζεται και έχουμε $\displaystyle{\int_{1}^{x}\frac{lnt}{t^2}dt= \left [ -\frac{1}{t}lnt\right ]_1 ^x -\int_{1}^{x}-\frac{1}{t^2 }dt=-\frac{lnx}{x}+\int_{1}^{x}1/t^2 dt = -\frac{lnx}{x} +\left [ -\frac{1}{t} \right ]_1 ^x =-\frac{lnx}{x} -1/x +1 }$ . Για το ζητούμενο όριο τώρα έχουμε: $lim_{x\rightarrow +\infty } \left ( -lnx/x -1/x +1 \right ) = 1$ καθώς το πρώτο όριο με εφαρμογή κανόνα De L' Hospital είναι μηδέν, το δεύτερο μηδέν άρα έχουμε το ζητούμενο.

Β' τρόπος : Εφαρμόζουμε το γνωστό τρόπο όπου φράσουμε τη συνάρτηση και εφαρμόζουμε το θεώρημα Sandwich.

Μία ερώτηση: Αν αλλάζαμε το κάτω άκρο του ολοκληρώματος και αντί για 1 το κάναμε 0 το όριο θα βγαινε ή θα χαμε πρόβλημα;

Φιλικά,
Τόλης

Συνδυαστικό με απαιτήσεις

Συνδυαστικό με απαιτήσεις

Re: Συνδυαστικό με απαιτήσεις

Re: Συνδυαστικό με απαιτήσεις

Re: Συνδυαστικό με απαιτήσεις

Re: Συνδυαστικό με απαιτήσεις

Μέλη σε σύνδεση