Κλασική (για διαγώνισμα)

thanasis kopadis · #1

Καλημέρα στο

Ένα ακόμη θέμα από ένα καινούργιο φυλλάδιο που ετοιμάζω.

Δίνεται συνάρτηση $f:[1,6]\rightarrow R$ δύο φορές παραγωγίσιμη, με f(6)=3f(1)

και

.
Αν ισχύει $\frac{f''(x)}{4}=f'(x)(f(x)-1)$ για κάθε $x\epsilon[1,6]$

α) Να εκφραστεί η

ως συνάρτηση της

β) Να αποδείξετε ότι η

είναι γνησίως αύξουσα και στη συνέχεια ότι f(1)>0

γ) Να αποδείξετε ότι $\int_{1}^{6}{f(x)dx}<ln3$

δ) Αν f(1)-1>0

, να αποδείξετε ότι 2f(4)<f(5)+f(3)

#2

thanasis kopadis έγραψε:Καλημέρα στο Ένα ακόμη θέμα από ένα καινούργιο φυλλάδιο που ετοιμάζω.

Δίνεται συνάρτηση $f:[1,6]\rightarrow R$ δύο φορές παραγωγίσιμη, με και .
Αν ισχύει $\frac{f''(x)}{4}=f'(x)(f(x)-1)$ για κάθε $x\epsilon[1,6]$

α) Να εκφραστεί η ως συνάρτηση της

β) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα και στη συνέχεια ότι

γ) Να αποδείξετε ότι $\int_{1}^{6}{f(x)dx}<ln3$

δ) Αν , να αποδείξετε ότι

Καλησπέρα.
Η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [1,6]

επομένως και η πρώτη παράγωγος είναι συνεχής στο [1,6].

α) Η δοθείσα γίνεται: $\displaystyle{f''(x) = 4f'(x)f(x) - 4f'(x),\forall x \in \left[ {1,6} \right]}$ απ' όπου ολοκληρώνοντας βρίσκουμε:

$\displaystyle{f'(x) = 2{f^2}(x) - 4f(x) + c,\forall x \in \left[ {1,6} \right]}$

Κάνοντας χρήση της συνθήκης έχω: c=4.

Επομένως: $\displaystyle{f'(x) = 2{f^2}(x) - 4f(x) + 4,\forall x \in \left[ {1,6} \right].}$

β) Έχω: $\displaystyle{f'(x) = 2{f^2}(x) - 4f(x) + 4,\forall x \in \left[ {1,6} \right] \Leftrightarrow f'(x) = 2\left[ {{{\left( {f(x) - 1} \right)}^2} + 1} \right] > 0,\forall x \in \left[ {1,6} \right]}$ άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο [1,6].

Έχω: $\displaystyle{1 < 6 \Rightarrow f(1) < f(6) = 3f(1) \Rightarrow f(1) > 0.}$

γ) Ισχύει:

$\displaystyle{f'(x) = 2{f^2}(x) - 4f(x) + 4 \ge {f^2}(x),\forall x \in \left[ {1,6} \right]\mathop \Rightarrow \limits^{0 < f(1) \le f(x) \le f(6)} \frac{{f'(x)}}{{f(x)}} \ge f(x),\forall x \in \left[ {1,6} \right]}$

απ' όπου ολοκληρώνοντας λαμβάνουμε το ζητούμενο.

( Είναι $\displaystyle{2{f^2}(x) - 4f(x) + 4 \ge {f^2}(x),\forall x \in \left[ {1,6} \right] \Leftrightarrow {\left( {f(x) - 2} \right)^2} \ge 0,\forall x \in \left[ {1,6} \right]}$ )

δ) Αφού f(1)>1

θα είναι και f(x)>1

(λόγω της μονοτονίας) άρα έπεται από τη δοθείσα πως $f''(x)>0,\forall x \in [1,6].$

Επομένως πρόκειται για κυρτή συνάρτηση. Το ζητούμενο έπεται με εφαρμογή του θεωρήματος μέσης τιμής στα διαστήματα: [3,4], [4,5]

και την αξιοποίηση της μονοτονίας της πρώτης παραγώγου (λόγω κυρτότητας είναι γνησίως αύξουσα).

Κλασική (για διαγώνισμα)

Κλασική (για διαγώνισμα)

Re: Κλασική (για διαγώνισμα)

Μέλη σε σύνδεση