Θ.Μ.Τ. (θεωρητική)

Λάμπρος Μπαλός · #1

Έστω

μία παραγωγίσιμη συνάρτηση στο $\mathbb R$ με f'(x)

γνησίως μονότονη. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν $a,b,c,d\in \mathbb R$ , διαφορετικά ανά δύο μεταξύ τους, ώστε (b-a)(f(d)-f(c))=(d-c)(f(b)-f(a))

Edit από Γενικούς Συντονιστές: LATEX

#2

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:Έστω μία παραγωγίσιμη συνάρτηση στο με γνησίως μονότονη. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν $a,b,c,d\in R$ , διαφορετικά ανά δύο μεταξύ τους, ώστε

Καλησπέρα Λάμπρο. Μήπως αντί για ίσον εννοείτε διαφορετικό; Γιατί αν ισχύει η ισότητα οδηγούμαστε σε αντίφαση. Η παράγωγος αποκλείεται να είναι γνησίως μονότονη.

Λάμπρος Μπαλός · #3

Κύριε, μάλλον η εκφώνηση όπως την έχω δώσει μπερδεύει τον αναγνώστη. Το ίσον εννοώ και μάλιστα εικάζω πως τα ζεύγη των σημείων είναι άπειρα. Φανταστείτε όλες τις παράλληλες χορδές σε μία κυρτή ή κοίλη συνάρτηση. Νομίζω θα γίνει πιο ξεκάθαρο εώς προφανές. Πάντως την απόδειξή του τη βρίσκω πράγματι πολύ όμορφη. Ελπίζω να τη γράψει κάποιος γιατί είμαι εξαιρετικά αργός ακόμη στο latex. Ευχαριστώ πολύ. Λάμπρος.

#4

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:Κύριε, μάλλον η εκφώνηση όπως την έχω δώσει μπερδεύει τον αναγνώστη. Το ίσον εννοώ και μάλιστα εικάζω πως τα ζεύγη των σημείων είναι άπειρα. Φανταστείτε όλες τις παράλληλες χορδές σε μία κυρτή ή κοίλη συνάρτηση. Νομίζω θα γίνει πιο ξεκάθαρο εώς προφανές. Πάντως την απόδειξή του τη βρίσκω πράγματι πολύ όμορφη. Ελπίζω να τη γράψει κάποιος γιατί είμαι εξαιρετικά αργός ακόμη στο latex. Ευχαριστώ πολύ. Λάμπρος.

Ευχαριστώ κι εγώ. Αναμένω την απόδειξη. Θα είναι μία έκπληξη για εμένα.

kostas_zervos · #5

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:Έστω μία παραγωγίσιμη συνάρτηση στο με γνησίως μονότονη. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν $a,b,c,d\in R$ , διαφορετικά ανά δύο μεταξύ τους, ώστε

Ας υποθέσουμε ότι

γνησίως αύξουσα και ότι a<b

(όμοια οι άλλες περιπτώσεις).

Έστω $\lambda=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ .

Θεωρούμε την ευθεία $\varepsilon:y=\lambda x+f(a)-\lambda a$ η οποία έχει δύο κοινά σημεία με την C_f

(τα $A(a,f(a))\;,\;B(b,f(b))$ ).

Από ΘΜΤ υπάρχει εφαπτόμενη $\zeta:y=\lambda x+f(n)-\lambda n$ παράλληλη στην $\varepsilon$ σε κάποιο σημείο N(n,f(n)

με $n\in(a,b)$ και $\lambda=f'(n)$ .

Η συνάρτηση $g(x)=f(x)-\lambda x$ είναι γνησίως φθίνουσα στο [a,n]

γιατί $g'(x)=f'(x)-\lambda=f'(x)-f'(n)<0$ αφού a<x<n

και

γνησίως αύξουσα.

Άρα θα είναι $a<n\Rightarrow g(a)>g(n)\iff f(a)-\lambda a>f(n)-\lambda n$

Έστω η ευθεία $\upsilon:y=\lambda x+k$ με $f(a)-\lambda a>k>f(n)-\lambda n$ .

Έστω $h(x)=f(x)-\lambda x-k$ , συνεχής στο [a,n]

.

$h(a)=f(a)-\lambda a-k>0$ και $h(n)=f(n)-\lambda n-k<0$ .

Άρα από Bolzano υπάρχει $c\in(a,n)$ ώστε h(c)=0

, άρα η

έχει κοινό σημείο με την $\upsilon$ το C(c,f(c))

.

Όμοια βρίσκουμε ότι υπάρχει $d\in(n,b)$ ώστε h(d)=0

, άρα η

έχει κοινό σημείο με την $\upsilon$ το D(d,f(d))

.

Έτσι $\lambda=\dfrac{f(d)-f(c)}{d-c}\iff \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=\dfrac{f(d)-f(c)}{d-c}\iff$

$\iff (b-a)(f(d)-f(c))=(d-c)(f(b)-f(a))$ όπου a<c<d<b

.

Λάμπρος Μπαλός · #6

Πολύ ωραία. Ας μου επιτραπεί μόνο να δώσω και τη δική μου απόδειξη. Ίσως σας φανεί λίγο κομψή. Λοιπόν,
υποθέτοντας ότι $a\neq b$ θέλω να αποδείξω ότι υπάρχουν c,d

τέτοια , ώστε $f(d)-f(c)=(d-c)\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ .
Εφαρμόζοντας το Θ.Μ.Τ για την

στο διάστημα $\left[a,b\right]$ βρίσκω ότι θα υπάρχει κάποιο $w\in \left(a,b \right)$ τέτοιο, ώστε $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(w)$ .
Θέλω λοιπόν να αποδείξω ότι υπάρχουν διαφορετικά c,d

ώστε
$f(d)-f(c)=(d-c)f'(w)\Leftrightarrow f(d)-f'(w)d=f(c)-f'(w)c$ .
Κοινώς θέλω να αποδείξω ότι η συνάρτηση g(x)=f(x)-f'(w)x

δεν είναι

.
Μελετώ τη μονοτονία της

και έχω
$g'(x)=0\Leftrightarrow f'(x)-f'(w)=0\Leftrightarrow f'(x)=f'(w)\Leftrightarrow x=w$ , το οποίο λόγω μονοτονίας της

είναι μοναδικό. Εκατέρωθεν λοιπόν του

έχουμε αλλαγή προσήμου για την

δηλαδή αλλαγή μονοτονίας για την

και καθώς αυτή είναι συνεχής, αποδεικνύεται ότι δεν είναι 1-1

. Φυσικά η διάταξη των αριθμών a,b,c,d

πηγαίνει όπως ακριβώς γράψατε. Αυτά!

Συγγνώμη για την κακή γραφή, δεν το έχω μάθει ακόμη καλά το πρόγραμμα.
Λάμπρος Μπαλός

#7

Ευχαριστώ για τις λύσεις. Συνεχίζω να έχω όμως τις επιφυλάξεις μου, όσον αφορά την εκφώνηση της άσκησης.
Καλό μεσημέρι και χρόνια πολλά!

Λάμπρος Μπαλός · #8

Ναι, θα κοιτάξω να τη διορθώσω. Ευχαριστώ.

#9

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:Έστω μία παραγωγίσιμη συνάρτηση στο $\mathbb R$ με γνησίως μονότονη. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν $a,b,c,d\in \mathbb R$ , διαφορετικά ανά δύο μεταξύ τους, ώστε

Edit από Γενικούς Συντονιστές: LATEX

Ας μου επιτραπεί ένα σχόλιο:

Αρκεί να δειχθεί ότι υπάρχουν δυο παράλληλες ευθείες που τέμνουν τη γραφική παράσταση της

σε 2 σημεία η καθεμια.

Αυτό είναι σχετικά "προφανές"....αρκεί να "μετακινήσουμε" καταλλήλως μια εφαπτομένη της γραφικής παράστασης.

Αναρωτιέμαι επίσης αν ισχύει για κάθε παραγωγίσιμη συνάρτηση (δηλ. αν δε χρειάζεται η μονοτονία της

).

Έχω την εντύπωση, πως ναι, αλλά δεν έχω απόδειξη.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Λάμπρος Μπαλός · #10

ισχύει αλλά πάλι θα πρέπει να περιοριστούμε σε διάστημα σταθερής κυρτότητας.
Να μη πέφτουμε πάνω σε σημείο καμπής.

Λάμπρος Μπαλός · #11

Να εξηγηθώ τί εννοώ.
Αυτή η άσκηση προέκυψε από μια απλή ιδέα πάνω σε κάτι προφανές.Ας το δούμε σαν πρόταση.

Έστω μία παραγωγίσιμη συνάρτηση

με γνησίως μονότονη

.

Για κάθε $\theta$ (εσωτερικό ας πουμε) υπάρχουν δύο διαφορετικά

και

τέτοια ώστε $f'(\theta )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ .

Ισχύει βεβαίως και η απόδειξη είναι αυτή που έδειξα πιο πάνω.

Μιλάμε λοιπόν για κάτι αντίστροφο του ΘΜΤ.Που δεν είναι όμως αυστηρό καθώς δεν μιλάει για μοναδικότητα. Ίσα ίσα, τα ζεύγη των

και

είναι άπειρα. Επιπλέον ίσως να μη χρειαζόταν ο περιορισμός στη σταθερή κυρτότητα και από μόνοι μας να διαλέγαμε τα τυχαία

και

σε διάστημα σταθερής κυρτότητας. Πάλι όμως έχουμε πρόβλημα καθώς το "οποιοδήποτε" αυτό $\theta$ δεν μπορεί να είναι σημείο καμπής.

Θ.Μ.Τ. (θεωρητική)

Θ.Μ.Τ. (θεωρητική)

Re: Θ.Μ.Τ (θεωρητική)

Re: Θ.Μ.Τ (θεωρητική)

Re: Θ.Μ.Τ (θεωρητική)

Re: Θ.Μ.Τ (θεωρητική)

Re: Θ.Μ.Τ (θεωρητική)

Re: Θ.Μ.Τ (θεωρητική)

Re: Θ.Μ.Τ (θεωρητική)

Re: Θ.Μ.Τ. (θεωρητική)

Re: Θ.Μ.Τ. (θεωρητική)

Re: Θ.Μ.Τ. (θεωρητική)

Μέλη σε σύνδεση