Οι αγαπημένες μας συναρτησιακές σχέσεις 4 us!

Μάκης Χατζόπουλος · #21

Ο qwerty έδωσε μια παραπομπή σε μια ιστοσελίδα, και με λίγο ψάξιμο βρήκα 10 σελίδες με λυμένες όμορφες συναρτησιακές σχέσεις 4 us!! Η σελίδα είναι http://db.math.ust.hk/notes_download/el ... /ae_A9.pdf την προτείνω ανεπιφύλακτα, αφού ξεκινάει από απλό επίπεδο και κλιμακώνεται η δυσκολία.

Πείτε την άποψή σας (είναι στα Αγγλικά οι σημειώσεις αλλά δεν έχετε πρόβλημα αν γνωρίζετε Μαθηματικά - παγκόσμια γλώσσα) όταν προλάβετε και ρίξετε μια ματιά...

#22

Οι σημειώσεις, και το site γενικότερα, φαίνονται πάρα πολύ καλές!! Το δεύτερο κείμενο στις αναφορές των σημειώσεων είναι τρομερό!!

#23

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Οι σημειώσεις, και το site γενικότερα, φαίνονται πάρα πολύ καλές!! Το δεύτερο κείμενο στις αναφορές των σημειώσεων είναι τρομερό!!

Αναστάση,

ίσως δεν αντιλήφθηκαν όλοι το λεπτό σου χιούμορ. Επειδή γέλασα πολύ, το κάνω "κοπή-αντιγραφή" για να δουν όλοι τι εννοείς.

Η αναφορά που εντυπωσίασε τον ο Αναστάση είναι η

2. 華羅庚學校數學課本 (高一年級), 出版社：中國大百科全書出版社

Τρομερή! #@%&#@ [@?}&*^(@! &&#@ ?#&#~@ Σωστά;

Μάκης Χατζόπουλος · #24

Mihalis_Lambrou έγραψε: 2. 華羅庚學校數學課本 (高一年級), 出版社：中國大百科全書出版社

Θέλετε μετάφραση;

#25

Άσκηση 12

Να προσδιοριστούν όλες οι συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε
f(x^4+y^3+z^2+t)=f(x)+f(y^2)+f(z^3)+f(t^4)

για κάθε $x,y,z,t \in \mathbb{R}$ .

Άσκηση 13

Έστω $a \in \mathbb{R}$ σταθερή.
Να προσδιοριστούν όλες οι συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε
f(f(x+y)+y)=x+f(ay)

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

#26

Άσκηση 13

Για y=0

παίρνουμε

για κάθε $x\in\mathbb{R}$ απ' όπου η f(x)

είναι

.

Για

παίρνουμε

άρα

οπότε από την παραπάνω παίρνουμε f(f(x))=x

για κάθε $x\in\mathbb{R} \ \ (1)$ .

Θέτοντας όπου

το

παίρνουμε: $f(y)+y=f(ay) \ \ \forall \ y\in\mathbb{R} \ \ (2)$ .

Θέτουμε στην αμέσως παραπανω όπου

το

και χρησιμοποιούμε την (1)

κι έτσι:

$y+f(y)=f(af(y)) \ \ \forall \ y\in\mathbb{R} \ \ (3)$ . Έτσι από τις (2)

και

λαμβάνουμε f(af(y))=f(ay)

δηλαδή $\boxed{af(y)=ay \ \ \forall \ y\in\mathbb{R} \ \ (4)}$ .

Διακρίνουμε πλέον τις περιπτώσεις:

1) Αν a=0:

τότε από την αρχική παίρνουμε (λόγω του ότι η

είναι

):

δηλαδή για x=0

παίρνουμε

για κάθε $y\in\mathbb{R}$ άρα f(x)=-x

για κάθε $x\in\mathbb{R}$ η οποία επαληθεύει την αρχική.

2) Αν $a\neq 0:$ τότε από την (4)

παίρνουμε

και βάζοντάς την στην αρχική παίρνουμε τελικά 2y=ay

για κάθε $y\in\mathbb{R}$ δηλαδή a=2

.

Συνοψίζοντας: Η παραπάνω συναρτησιακή επαληθεύεται από την f(x)=-x

αν και μόνο αν a=0

Από την

αν και μόνο αν a=2

και τέλος δεν επαληθεύεται από καμία άλλη συνάρτηση αν $a\neq 2$ .

Ελπίζω να μην έχασα κάπου. Αν θέλετε ελέγξτε το!

Αλέξανδρος

#27

Η άσκηση 10
είναι λυμένη στο πολύ καλό βιβλίο του Γ.Μπαϊλάκη "Παγκόσμια Θεματογραφία ..." εκδόσεις Ανικουλα σελίδα 33 από ΔΜΟ Βουλγαρίας 1977

Η άσκηση 11
Δείτε το συνημμένο

#28

Άσκηση 14

Να προσδιοριστούν οι συναρτήσεις $f,g: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{R}$ αν
f(0)=2010

, η

είναι άρτια και η

περιττή,
$f(x)=f(x^2+x+a), \forall x \in \mathbb{Z}$
$g(x)=g(x^2+x+b), \forall x \in \mathbb{Z}$ , όπου $a,b \in \mathbb{Z}$ .

Άσκηση 15

Έστω $a,b \in (0,1) \cup (1,+\infty)$ και η 1-1 συνάρτηση $f: (0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ώστε η συνάρτηση $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ , g(x)=f(a^x)+f(b^x)

να είναι σταθερή.
Δείξτε ότι ab=1

και ότι υπάρχει τέτοια συνάρτηση.

peter · #29

socrates έγραψε:Άσκηση 15. Έστω $a,b \in (0,1) \cup (1,+\infty)$ και η 1-1 συνάρτηση $f: (0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ώστε η συνάρτηση $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ , να είναι σταθερή. Δείξτε ότι και ότι υπάρχει τέτοια συνάρτηση.

Μπορούμε να υποθέσουμε ότι $g\equiv 0$ (διότι αν g(x)=c

, τότε θεωρούμε την $f_1(x)=f(x)-\frac{c}{2}$ , η οποία είναι 1-1 και έχουμε f_1(a^x)+f_1(b^x)=0

).

Επίσης, μπορούμε να υποθέσουμε ότι b=e

(διαφορετικά εκτελούμε τον μετασχηματισμό $x\to \frac{x}{\ln b}$ και για να δείξουμε ότι ab=1

ισοδύναμα αρκεί να δείξουμε ότι $a^{\frac{1}{\ln b}}=\frac{1}{e}$ ).

Έτσι, έχουμε ότι: Υπάρχει μια σταθερά $0<a\neq 1$ και $f:(0,\infty)\to \mathbb R$ 1-1 με την ιδιότητα f(a^x)+f(e^x)=0

για κάθε $x\in \mathbb R$ . Θα δείξουμε ότι a=1/e

.

Αν

είναι το σύνολο τιμών της

, τότε ορίζεται η $f^{-1}:R\to (0,\infty)$ . Θεωρούμε τυχόν $x\in \mathbb R$ . Αν y=f(a^x)

, τότε $x=\frac{\ln f^{-1}(y)}{\ln a}$ . Από την υπόθεση δε, είναι: y+f(e^x)=0

, δηλαδή $f^{-1}(-y)=e^x=e^{\frac{\ln f^{-1}(y)}{\ln a}}=[f^{-1}(y)]^{\frac{1}{\ln a}}$ .

Επειδή το

ήταν τυχόν έχουμε ότι το

είναι τυχόν στοιχείο του

. Έτσι, η τελευταία ισχύει για κάθε $y\in R$ . Εκτελώντας το μετασχηματισμό $y\to -y$ , βρίσκουμε ότι $f^{-1}(y)=[f^{-1}(y)]^{\ln^2a}$ για κάθε $y\in R$ ή ισοδύναμα $t=t^{\ln^2 a}$ για κάθε t>0

.

Από την τελευταία βρίσκουμε ότι είτε a=e

ή

. Η πρώτη περίπτωση απορρίπτεται διότι θα είχαμε ότι f(t)=0

για κάθε

, άτοπο.

Παράδειγμα τέτοιας

είναι η $\ln:(0,\infty)\to \mathbb R$ .

#30

socrates έγραψε:Άσκηση 14
Να προσδιοριστούν οι συναρτήσεις $f,g: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{R}$ αν
, η είναι άρτια και η περιττή,
$f(x)=f(x^2+x+a), \forall x \in \mathbb{Z}$
$g(x)=g(x^2+x+b), \forall x \in \mathbb{Z}$ , όπου $a,b \in \mathbb{Z}$ .

socrates έγραψε:Άσκηση 12
Να προσδιοριστούν όλες οι συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε
για κάθε $x,y,z,t \in \mathbb{R}$ .

Απ' ό,τι βλέπω οι παραπάνω έμειναν αναπάντητες. Τις επαναφέρω.

#31

12

Για $\displaystyle{x=y=z=t=0}$ προκύπτει $\displaystyle{f(0)=0}$

Για $\displaystyle{x=y=z=0}$ προκύπτει $\displaystyle{f(t)=f(t^4) }$ άρα $\displaystyle{f}$ άρτια

Για $\displaystyle{y=z=0}$ προκύπτει $\displaystyle{f(t+x^4)=f(t^4)+f(x)=f(t)+f(x)=f(t)+f(x^4) }$ άρα για $\displaystyle{x^4=-t}$ είναι $\displaystyle{0=f(0)=f(t)+f(-t)}$

οπότε $\displaystyle{f(x)=0,\forall x\in R}$

Οι αγαπημένες μας συναρτησιακές σχέσεις 4 us!

Re: Οι αγαπημένες μας συναρτησιακές σχέσεις 4 us!

Re: Οι αγαπημένες μας συναρτησιακές σχέσεις 4 us!

Re: Οι αγαπημένες μας συναρτησιακές σχέσεις 4 us!

Re: Οι αγαπημένες μας συναρτησιακές σχέσεις 4 us!

Re: Οι αγαπημένες μας συναρτησιακές σχέσεις 4 us!

Re: Οι αγαπημένες μας συναρτησιακές σχέσεις 4 us!

Re: Οι αγαπημένες μας συναρτησιακές σχέσεις 4 us!

Re: Οι αγαπημένες μας συναρτησιακές σχέσεις 4 us!

Re: Οι αγαπημένες μας συναρτησιακές σχέσεις 4 us!

Re: Οι αγαπημένες μας συναρτησιακές σχέσεις 4 us!

Re: Οι αγαπημένες μας συναρτησιακές σχέσεις 4 us!

Μέλη σε σύνδεση