Λίγο απ'όλα!

#1

Δίνεται η συνάρτηση

$\displaystyle{f(x)=\int_{x}^{x^2}\frac{t}{\ln t}dt.}$

i) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της $\displaystyle{f}$ .

ii) Να μελετήσετε την $\displaystyle{f}$ ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα.

iii) Να υπολογίσετε το $\displaystyle{\lim_{x\to 1^+}f(x).}$

#2

......πάντα παρουσιάζουν ενδιαφέρον τέτιες περιπτώσεις....

ι) Αφού η $\frac{t}{\ln t}$ ορίζεται και είναι συνεχής στο $A=(0,\,\,1)\cup (1,\,\,+\infty )$ για να ορίζεται η

πρέπει να υπάρχουν $x\in R$ ώστε $0<x<1,\,\,\,0<{{x}^{2}}<1$

ή $x>1,\,\,\,{{x}^{2}}>1$ που στη πρώτη περίπτωση συμβαίνει για 0<x<1

και στην δεύτερη για x>1

άρα το πεδίο ορισμού της

είναι

$A=(0,\,\,1)\cup (1,\,\,+\infty )$

ιι) Η $f(x)=\int\limits_{x}^{{{x}^{2}}}{\frac{t}{\ln t}dt=\int\limits_{x}^{a}{\frac{t}{\ln t}dt+}}\int\limits_{a}^{{{x}^{2}}}{\frac{t}{\ln t}dt=}-\int\limits_{a}^{x}{\frac{t}{\ln t}dt+}\int\limits_{a}^{{{x}^{2}}}{\frac{t}{\ln t}dt}$ με

$a\in (0,\,\,1)$ είναι παραγωγίσιμη στο $(0,\,\,1)$ με ${f}'(x)=-\frac{x}{\ln x}+\frac{{{x}^{2}}}{\ln {{x}^{2}}}2x=-\frac{x}{\ln x}+\frac{{{x}^{3}}}{\ln x}=\frac{{{x}^{3}}-x}{\ln x}$ και ανάλογα με $a\in (1,\,\,+\infty )$ παραγωγίσιμη

στο $(1,\,\,+\infty )$ με ${f}'(x)=\frac{{{x}^{3}}-x}{\ln x}$

οπότε η ${f}'(x)>0,\,\,x\in (0,\,\,1)$ άρα γνήσια αύξουσα στο $(0,\,\,1)$ και ${f}'(x)>0,\,\,x\in (0,\,\,+\infty )$ άρα γνήσια αύξουσα στο $(0,\,\,+\infty )$

ιιι) Είναι $1<x\le t\le {{x}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}\le {{t}^{2}}\le {{x}^{4}}$ και επειδή $t\ln t>0$ έχουμε ισοδύναμα $\frac{{{x}^{2}}}{t\ln t}\le \frac{{{t}^{2}}}{t\ln t}\le \frac{{{x}^{4}}}{t\ln t}$ και ολοκληρώνοντας προκύπτει

$\int\limits_{x}^{{{x}^{2}}}{\frac{{{x}^{2}}}{t\ln t}dt}\le \int\limits_{x}^{{{x}^{2}}}{\frac{{{t}^{2}}}{t\ln t}dt}\le \int\limits_{x}^{{{x}^{2}}}{\frac{{{x}^{4}}}{t\ln t}dt}\Leftrightarrow {{x}^{2}}\int\limits_{x}^{{{x}^{2}}}{\frac{1}{t\ln t}dt}\le f(x)\le {{x}^{4}}\int\limits_{x}^{{{x}^{2}}}{\frac{1}{t\ln t}dt}$ απ όπου έχουμε

${{x}^{2}}\int\limits_{x}^{{{x}^{2}}}{\frac{(\ln t{)}'}{\ln t}dt}\le f(x)\le {{x}^{4}}\int\limits_{x}^{{{x}^{2}}}{\frac{(\ln t{)}'}{\ln t}dt}\Leftrightarrow {{x}^{2}}[\ln (\ln t))]_{x}^{{{x}^{2}}}\le f(x)\le {{x}^{4}}[\ln (\ln t))]_{x}^{{{x}^{2}}}$ και προκύπτει

${{x}^{2}}[\ln (\ln {{x}^{2}})-\ln (\ln x)]\le f(x)\le {{x}^{4}}[\ln (\ln {{x}^{2}})-\ln (\ln x)]$ ή

${{x}^{2}}\ln 2\le f(x)\le {{x}^{4}}\ln 2$ και από κριτήριο παρεμβολής $\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\ln 2$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

#3

Πέρα από τη σχολική ύλη :

Μπορεί κανείς να εκτιμήσει τη συμπεριφορά της f(x)

κοντά στο

από τα δεξιά με όση ακρίβεια θέλει, βρίσκοντας ένα ασυμπτωτικό ανάπτυγμα του ολοκληρώματος μέσω του οποίου ορίζεται :

Αρχικά παρατηρούμε ότι όταν $x\to1^+$ , ο λογάριθμος στον παρονομαστή πάει στο

, άρα σκεφτόμαστε ότι μπορεί να χρησιμοποιηθεί το ανάπτυγμα της $\ln(1+t)$ . Γράφουμε λοιπόν

$\displaystyle{f(x)\stackrel{t=y+1}{=}\int_{x-1}^{x^2-1}\frac{y+1}{\ln(1+y)}\,dy}$ . Όμως $x\to1^+\Rightarrow y\to0^+$ , και επειδή $\ln(1+y)\stackrel{y\to0}{=}y-y^2/2+\mathcal O(y^3)$ , παίρνουμε

$\displaystyle{f(x)=\int_{x-1}^{x^2-1}\frac{y+1}{y-y^2/2+\mathcal O(y^3)}\,dy=\int_{x-1}^{x^2-1}\frac{y+1}{y}\frac{1}{1-\left(y/2-\mathcal O(y^2)\right)}\,dy=}$ .

Τώρα όμως, επειδή $\displaystyle{\frac{1}{1-y}\stackrel{y\to0}{=}1+y+\mathcal O(y^2)}$ , και $x\to1^+\Rightarrow y/2-\mathcal O(y^2)\to0$ , παίρνουμε $\displaystyle{\frac{1}{1-\left(y/2-\mathcal O(y^2)\right)}=1+y/2-\mathcal O(y^2)}$ , συνεπώς

$\displaystyle{f(x)=\int_{x-1}^{x^2-1}\frac{y+1}{y}\left(1+\frac{y}{2}-\mathcal O(y^2)\right)\,dy=\int_{x-1}^{x^2-1}\frac{1}{y}+\frac{3}{2}+\mathcal O(y)\,dy=\left(\ln|y|+\frac{3y}{2}\right)\Big|_{x-1}^{x^2-1}+\mathcal O\left(\frac{y^2}{2}\Big|_{x-1}^{x^2-1}\right)=}$

$\displaystyle{\ln(x+1)+\frac{3x}{2}(x-1)+\mathcal O\left(\frac{1}{2}x(x+2)(x-1)^2\right)=\ln2 +\frac{3}{2}(x-1)+\mathcal O(x-1)^2}$

Παίρνοντας κανείς περισσότερους όρους στα αναπτύγματα των $\displaystyle{\ln(1+x)}$ και $\displaystyle{\frac{1}{1-x}}$ , μπορεί να προσεγγίσει καλύτερα τη συμπεριφορά της f(x)

.

Τα παραπάνω μπορεί να φαίνονται άχρηστα, αλλά τουλάχιστον δίνουν μια κατά τη γνώμη μου ικανοποιητική απάντηση στο "γιατί" το όριο να βγεί $\ln2$ και δίνουν τη δυνατότητα εύρεσης ορίων που απαιτούν καλύτερη προσσέγγιση της

, πχ το $\displaystyle{\lim_{x\to1^+}\frac{f(x)-\ln2}{(x-1)}=\frac{3}{2}}$ .

Πίσω από κάθε όριο κρύβεται ένα ασυμπτωτικό ανάπτυγμα.

ΥΓ: Βασίλη το κολπάκι με την $t\ln t$ ήταν σατανικό!

mathxl · #4

Για το όριο μπορούμε να δούμε εδώ viewtopic.php?f=54&t=5667 το D

Λίγο απ'όλα!

Λίγο απ'όλα!

Re: Λίγο απ'όλα!

Re: Λίγο απ'όλα!

Re: Λίγο απ'όλα!

Μέλη σε σύνδεση