ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ

#1

...Καλησπερίζω την εκλεκτή παρέα του

Παρακάτω δημοσιεύω ένα τελευταίο διαγώνισμα σε όλη την ύλη που έγραψαν οι μαθητες χθες. Είναι όλο προσωπικής δημιουργίας με στόχο, να ανεβάσω την ψυχολογία των παιδιών εν όψει εξετάσεων, και αν το κατάφερα θα δείξει όταν πάρω όλα τα αποτελέσματα.....

ΘΕΜΑ Α

A1. Έστω μία συνάρτηση

παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα $(\alpha ,\,\,\beta )\,$ , με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του ${{x}_{0}}$ , στο οποίο όμως είναι συνεχής.
Αν {f}'(x)>0

στο $(\alpha ,\,\,\,{{x}_{0}})$ και {f}'(x)<0

στο $({{x}_{0}},\,\,\,\,\beta )$ , τότε να δείξετε ότι το $f({{x}_{0}})$ είναι τοπικό μέγιστο της

. (Μ 10 )
A2. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] του πεδίου ορισμού της; (Μ 5)
Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.
α) Αν f(x) = αx, α > 0, τότε ισχύει (αx) ′ =xαx−1
β) Αν $f:R\to R$ παραγωγίσιμη και αντιστρέψιμη με ${{f}^{-1}}:R\to R$ παραγωγίσιμη τότε υπάρχει ${{x}_{0}}\in R$ ώστε $({{f}^{-1}}{)}'({{x}_{0}})=0$
γ) Αν $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty$ ή $-\infty$ , τότε $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{f(x)}=0$
δ) Αν $\displaystyle{\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{g(x)}=a}$ και $\displaystyle{\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'(x)}{{g}'(x)}=\beta }$ τότε α=β
ε) Αν Αν $f:R\to R$ παραγωγίσιμη, τότε μεταξύ δύο διαδοχικών ριζών της {f}'(x)=0

η

έχει τουλάχιστον ένα ακρότατο.(Μ 10)

ΘΕΜΑ Β

Έστω μιγαδικός αριθμός $z=\alpha +\beta i,\,\,\,\,\,\alpha ,\beta \in R$
B1. Αν γνωρίζουμε ότι η εικόνα του

ανήκει στην ευθεία $(\varepsilon ):\,\,\,\,\,(z+\bar{z})x+\frac{z-\bar{z}}{i}y=2$ να δείξετε ότι $\left| z \right|=1$ (Μ 6)
B2. Αν για τον μιγαδικό w ισχύει ότι $z\bar{w}+\bar{z}w=4$ να δείξετε ότι το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών w που απέχουν από τις εικόνες του z, απόσταση 1, είναι κύκλος (C) κέντρου Ο(0, 0) και ακτίνας ρ=2.(Μ 7)
B3. Αν w=2i είναι ένας από τους μιγαδικούς του συνόλου (C) να υπολογίσετε τον μιγαδικό z. (Μ 6)
B4. Να δείξετε ότι ${{(w-z)}^{2010}}+{{(w-z)}^{2011}}+{{(w-z)}^{2012}}+{{(w-z)}^{2013}}=0$ όπου z,w μιγαδικοί του ερωτήματος (B3) (Μ 6)

ΘΕΜΑ Γ
Δίνονται οι συναρτήσεις $h(x)=\int\limits_{1}^{x}{\ln tdt},\,\,x>0$ , $g(x)=x{{\ln }^{2}}x-h(x)-1,\,\,x>0$
Γ1. Να δείξετε ότι η εξίσωση g(x)=0

έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα [1,e] (Μ 6 )
Γ2. Να δείξετε ότι η συνάρτηση

είναι ΄΄1-1΄΄ στο $[1,\,\,+\infty )$ (Μ 5)
Γ3. Δίνεται η συνάρτηση $F(x)=\int\limits_{f(1)}^{f(x)}{\frac{\ln t}{\ln x}dt},\,\,\,x>1$ και $F(x)=\ln (f(1)),\,\,x=1$ όπου

παραγωγίσιμη συνάρτηση στο R με ${f}'(x)>0,\,\,\,f(0)=0$ και $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,(x{f}'(x))=1$
α) Να δείξετε ότι η F είναι συνεχής στο $[1,\,\,+\infty )$ (Μ 6)
β) Αν γνωρίζουμε ότι F(e)=f(1)

και ln(f(e))=1 να δείξετε ότι f(1)=1

(Μ 4 )
γ) Αν επίσης γνωρίζουμε ότι F(x) lnx=h(x), για x>1να δείξετε ότι f(x)=x

(Μ 4)

ΘΕΜΑ Δ

Έστω $f:\,[0,\,3]\to R$ παραγωγίσιμη με {f}'

γνήσια μονότονη στο $[0,\,\,3]$
∆1. Αν ισχύει f(1)+f(2)<f(0)+f(3)

τότε να δείξετε ότι η

είναι κυρτή στο $[0,\,\,3]$ (Μ 6 )
∆2. Αν είναι ${f}'(0)=0,\,\,{f}'(2)=4\,\,$ και η εφαπτομένη στο σημείο $A(2,\,f(2))$ τέμνει την εφαπτομένη στο $\Gamma (0,\,f(0))$ στο σημείο $B\,(1,\,f(0))$ να δείξετε ότι f(2)-f(0)=4

και ότι

(Μ 7 )
∆3. Αν επίσης το $\int\limits_{0}^{2}{f(x)dx}=\frac{8}{3}$ και το εμβαδό μεταξύ της γραφικής παράστασης της

και των εφαπτομένων στα σημεία $\Gamma (0,\,f(0))$ και $A(2,\,f(2))$ είναι $\frac{2}{3}$ να δείξετε ότι f(0)=0

(Μ 7 )
∆4. Να δείξετε ότι $f(x)\ge 0$ για κάθε $x\in [0,\,\,3]$ (Μ 5)

Σημείωση: Το ΘΕΜΑ Δ έγινε με βάσει την άσκηση της Β ΟΜΑΔΑΣ του σχολικού σελ 349...(και δεν έχω καταφέρει ακόμη να γράψω δίκλαδη στη latex...και γι αυτό έγραψα έτσι την F(x) στο Γ3...)

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

...και μετά αό επιθυμία της παρέας το ανεβάζω και σε word...

ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΠΑΣΧΑ 2011.doc: (154.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 463 φορές

PanosG · #2

Ωραίο διαγώνισμα, ζόρικο θα έλεγα. Ξεκινάω με το 2ο Θέμα
Β1.
Είναι $z+\bar z=2a \;\;\;$ και $z-\bar z=2bi$ οπότε η ευθεία (ε) γίνεται:
$(\varepsilon ) 2ax+2by=2\Leftrightarrow ax+by=1$ Όμως η εικόνα του z Μ(a,b) ανήκει στην ευθεία (ε), άρα:
$a^2+b^2=1\Leftrightarrow |z|=1$
B2.
Είναι $\displaystyle |w-z|=1 \Leftrightarrow |(w-z)(\bar w -\bar z)|=1\Leftrightarrow w\bar w-(w\bar z +z\bar w)+z\bar z=1$
$\displaystyle \Leftrightarrow |w|^2-4+1=1\Leftrightarrow |w|^2=4\Leftrightarrow |w|=2$
Άρα ο w κινείται σε κύκλο με κέντρο το (0,0) και ακτίνα 2.
Β3.
Αν w=2i

τότε η σχέση $z\bar w+\bar z w=4$ γίνεται:
$\displaystyle -2iz+2i\bar z=4\Leftrightarrow -ai+b+ai+b=2\Leftrightarrow b=1$
'Ομως $\displaystyle |z|=1\Leftrightarrow a^2+b^2=1\Leftrightarrow a=0$
Άρα $\displaystyle z=i$
Β4.
$\displaystyle {{(w-z)}^{2010}}+{{(w-z)}^{2011}}+{{(w-z)}^{2012}}+{{(w-z)}^{2013}}=$
$\displaystyle i^{2010}+i^{2011}+i^{2012}+i^{2013}=i^2+i^3+i^0+i=-1-i+1+i=0$

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ

Re: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΟΣΗΣ

Μέλη σε σύνδεση